Question

如圖所示，軌道ABCD由粗糙的斜面軌道AB和光滑圓弧軌道BCD組成．圓弧軌道BCD半徑R=lm，在B點與斜面軌道48相切；C點是圓弧軌道的最低點，D點的切線沿豎直方向；斜面軌道與水平面的夾角8=37°，物塊與斜面間的動摩擦因數μ=0.3在D點的正上方有一厚度不計的旋轉平臺，沿平臺的一條直徑上開有兩個小孔P、Q，兩孔離軸心等距離，旋轉時兩孔均能達到D點的正上方．一質量m=0.5kg的物塊（視為質點）從斜面上A點由靜止釋放，到達C點時對軌道的壓力恥N_N=65N，到達D點后恰好無碰撞的穿過小孔P，為了使物塊能從小孔Q落下（不計空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，取sin37°=0.6，cos37°=o．8），求：
（1）物塊到達C點時的速度（結果可用根式表示）．
（2）AB的長度L（結果可用分數表示）．
（3）平臺的角速度ω應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）在C點，物塊靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出物塊到達C點的速度．
（2）對AC段運用動能定理，有重力和摩擦力做功，根據動能定理求出AB段的長度．
（3）對C到D段運用動能定理，求出到達D點的速度，小球穿越孔后做豎直上拋運動，根據運動學公式求出上拋到返回平臺的時間，根據圓周運動的周期性，求出平臺的角速度ω應滿足的條件．

解答：解：（1）在C點，根據牛頓定律有FN-mg=m

υ2

R

υ=

( FN m -g)R

=

( 65 0.5 -10)×1

m/s=2

30

m/s．
（2）由動能定理，有mgLsin37°+mgR（1-cos37°）-μmgLcos37°=

1

2

mυ2
解得L=

145

9

m
（3）設小球到達D點時的速度是υ_D，則在物塊由C到D過程中，有

1

2

mυ2=mgR+

1

2

mυD2
解得υ_D=10m/s
物塊越過孔后做初速度為10m/s、加速度為-g的勻變速運動，由運動學公式h=υ0t+

1

2

gt2有0=10×t+

1

2

×(-10)×t2
可得t=2s
根據θ=ωt得ω應滿足ω=

θ

t

=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)
答：（1）物塊到達C點時的速度為2

30

m/s．
（2）AB的長度L為

145

9

m．
（3）平臺的角速度ω應滿足的條件為ω=

(2n+1)π

2

(n=0，1，2，3)．

點評：小球經歷了勻變速運動、圓周運動和豎直上拋運動，綜合考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學公式．