Question

如圖所示，內壁光滑的半徑為R的圓形軌道，固定在豎直平面內，質量為m₁小球靜止在軌道最低點，另一質量為m₂的小球（兩小球均可視為質點）從內壁上與圓心O等高的位置由靜止釋放，到最低點時與m₁發生彈性碰撞，求：
（1）小球m₂運動到最低點時的速度大小；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿內壁運動到最高點，則m₂/m₁應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）小球m₂運動到最低點時的過程中機械能守恒，代入公式即可求得速度；
（2）兩個小球碰撞的過程中動量守恒，機械能守恒，寫出相應的公式，求得碰撞后的速度；碰撞后小球沿內壁上升的過程，機械能守恒，在最高點時重力恰好提供向心力，聯立幾個公式，即可求得結果．

解答：解析：（1）設小球m₂運動到最低點時的速度為v₀，由機械能守恒，得m2gR=

1

2

m2

v

2 0

①
解得v0=

2gR

②
（2）設彈性碰撞后，m₁、m₂兩球的速度分別為v₁、v₂，則m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂ ③
  

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

    ④
  由③④兩式解得v1=

2m2v0

m1+m2

     ⑤（另一解不合實際，舍去）
  設m₁運動到軌道的最高點時速度為v，則有m1g=

m1v2

R

  ⑥
小球m₁由最低點運動最高點的過程中機械能守恒，則

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2=2m1gR⑦
由②⑤⑥⑦式解得

m2

m1

≥

5

2 2 - 5

≈3.78⑧
答：（1）小球m₂運動到最低點時的速度為

2gR

；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿內壁運動到最高點，則

m2

m1

應滿足

m2

m1

≥3.78．

點評：本題解題的關鍵是對兩個小球運動情況的分析，知道小球做什么運動，并能結合機械能守恒、動量守恒等關系解題，難度比較大．