Question

2．（1）開普勒第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一個對所有行星都相同的常量，將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質量為M_太．
（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統都成立．已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，地球表面重力加速度是g；
①已知圍繞地球表面做勻速圓周運動的衛星周期為T₀，則圍繞火星表面做勻速圓周運動的探測器的周期為多大？
②某人在地球上向上跳起的最大高度為h，若不考慮其它因素的影響，則他在火星上向上跳起的最大高度為多大？

Answer 1

分析 行星繞太陽的運動按圓周運動處理時，此時軌道是圓，就沒有半長軸了，此時$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k應改為$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，再由萬有引力作為向心力列出方程可以求得常量k的表達式；
對火星探測器列萬有引力提供向心力的周期表達式，得到周期與質量和半徑的關系，進而有題目給定的火星與地球關系，可以得到周期與地球半徑和質量的關系，再由黃金代換，可以代換掉地球質量，最終得到火星周期表達式；
根據萬有引力等于重力，得出重力加速度的關系，從而得出上升高度的關系．

解答 解：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運動，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：$\frac{G{m}_{行}{M}_{太}}{{r}^{2}}$=m_行（$\frac{2π}{T}$）²r…①
于是有：$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太…②
即：=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太     
（2）設地球和火星的質量分別為M、Mˊ，火星的半徑為Rˊ，則對火星探測器，由萬有引力定律：
G$\frac{M′m}{R{′}^{2}}$=mR′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
又：M′=$\frac{1}{9}$ M，R′=$\frac{1}{2}$R
圍繞地球表面做勻速圓周運動的衛星周期為T₀，則有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′R$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$
聯立兩式，解得：T=$\sqrt{\frac{R{′}^{3}}{{R}^{3}}•\frac{M}{M′}}$T₀=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
由G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=mg得到：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$．
已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g．
假設人以v₀在地球起跳時，根據豎直上拋的運動規律得出：可跳的最大高度是 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，
以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度h′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{\frac{4}{9}g}$=$\frac{9}{4}$h．
答：（1）太陽系中該常量k的表達式是$\frac{G}{4{π}^{2}}$M_太；
（2）①已知圍繞地球表面做勻速圓周運動的衛星周期為T₀，則圍繞火星表面做勻速圓周運動的探測器的周期為$\frac{3}{4}\sqrt{2}$T₀；
②某人在地球上向上跳起的最大高度為h，若不考慮其它因素的影響，則他在火星上向上跳起的最大高度為$\frac{9}{4}$h．

點評 本題就是考察學生對開普勒行星運動第三定律的理解和應用，掌握住開普勒行星運動第三定律和萬有引力定律即可求得結果，式中的常量k必修是相對于同一個中心天體來說的．
這是一個比較簡單的題，只需要列一個周期表達式，再依據題目給定的關系，用已知量代換未知量就可以得到最終的結果．