Question

如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。

在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T₁。但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T₂。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×10²⁴kg 和 7.35 ×10²²kg 。求T₂與T₁兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）

Answer 1

⑴     ⑵1.01

解析:

⑴A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期。因此有

，，連立解得，

對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得

化簡(jiǎn)得  

⑵將地月看成雙星，由⑴得

將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得

化簡(jiǎn)得  

所以兩種周期的平方比值為