Question

如圖所示，在傾角為θ=30°的光滑斜面的底端有一個固定擋板D，小物體C靠在擋板D上，小物體B與C用輕質彈簧拴接．當彈簧處于自然長度時，B在O點；當B靜止時，B在M點，OM=l．在P點還有一小物體A，使A從靜止開始下滑，A、B相碰后一起壓縮彈簧．A第一次脫離B后最高能上升到N點，ON=1.5l．B運動還會拉伸彈簧，使C物體剛好能脫離擋板D．A、B、C的質量都是m，重力加速度為g．求
（1）彈簧的勁度系數；
（2）彈簧第一次恢復到原長時B速度的大小；
（3）M、P之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據題意已經知道B物體平衡時彈簧的形變量，對B進行受力分析，由共點力平衡條件求出彈力，利用胡克定律得到彈簧的勁度系數；
（2）A與B分離的臨界條件即彈簧恢復原長的瞬間，利用機械能守恒求出B物體的速度；
（3）綜合分析A與B碰撞前、碰撞后的運動過程，找到他們遵守的物理定律即動量守恒、機械能守恒，列出方程求解．并且知道C剛剛脫離擋板的條件是彈簧的拉力與C物體沿斜面的分力相等．

解答：解：（1）B靜止時，受力如圖所示，

根據物體平衡條件得kl=mgsinθ
彈簧的勁度系數   k=

mg

2l

（2）當彈簧第一次恢復原長時A、B恰好分離．
設此時A、B速度的大小為v₃，對A物體，從A、B分離到A速度變為0的過程，
根據機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 3

=mg△h
此過程中A物體上升的高度△h=1.5lsinθ
得                  v3=

3 2 gl

（3）設A與B相碰前速度的大小為v₁，A與B相碰后速度的大小為v₂，M、P之間距離為x．對A物體，從開始下滑到A、B相碰的過程，根據機械能守恒定律得  
 mgxsinθ=

1

2

m

v

2 1

A與B發生碰撞，根據動量守恒定律得  
 mv₁=（m+m）v₂   
設B靜止時彈簧的彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復原長的過程，根據機械能守恒定律得

1

2

(m+m)

v

2 2

+EP=

1

2

(m+m)

v

2 3

+(m+m)glsinθ
B物體的速度變為0時，C物體恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為l，彈簧的彈性勢能也為E_P．
對B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變為0的過程，由機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 3

=mglsinθ+Ep
解得      
x=9l 
答：（1）彈簧的勁度系數為k=

mg

2l

    （2）彈簧第一次恢復到原長時B速度v3=

3 2 gl

   （3）M、P之間的距離x=9l

點評：本題的關鍵是認真分析物理過程，把復雜的物理過程分成幾個小過程并且找到每個過程遵守的物理規律，
列出相應的物理方程解題．是一道全面考查動量守恒、機械能守恒的比較困難又容易出錯的好題．