Question

如圖所示，質(zhì)量分別為3m、2m、m的三個(gè)小球A、B、C用兩根長為L的輕繩相連，置于傾角為30°、高為L的固定光滑斜面上，A球恰能從斜面頂端外豎直落下，弧形擋板使小球只能豎直向下運(yùn)動(dòng)，碰撞過程中沒有動(dòng)能損失，小球落地后均不再反彈．由靜止開始釋放它們，不計(jì)所有摩擦，求：
（1）A球剛要落地時(shí)的速度大小
（2）C球剛要落地時(shí)的速度大�。�
（3）在B球運(yùn)動(dòng)過程中，兩繩對(duì)B球做的總功為多少．

Answer 1

分析：（1）在A球未落地前，A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，列式可求得A球剛要落地時(shí)的速度大�。�
（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，在B球落地后，C球未落地前，C球在下落過程中機(jī)械能守恒，分兩個(gè)過程由機(jī)械能守恒列式可求得C球剛要落地時(shí)的速度大小．
（3）在B球下落過程中，重力和繩的拉力做功，運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解兩繩對(duì)B球做的總功．

解答：解：
（1）在A球未落地前，A、B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)A球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₁，則
   

1

2

(mA+mB+mC)

v

2 1

=mAghA-mBghB1-mCghC1
又h_A=L，hB1=hC1=Lsin30°=

1

2

L
代入數(shù)據(jù)并解得，v1=

gL 2

（2）在A球落地后，B球未落地前，B、C組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)B球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₂，則
 

1

2

(mB+mC)

v

2 2

-

1

2

(mB+mC)

v

2 1

=mBghB2-mCghC2
又hB2=L，hC2=Lsin30°=

1

2

L
代入數(shù)據(jù)并解得，v2=

3gL 2

在B球落地后，C球未落地前，C球在下落過程中機(jī)械能守恒，設(shè)C球剛要落地時(shí)系統(tǒng)的速度大小為v₃，則
   

1

2

mC

v

2 3

-

1

2

mC

v

2 2

=mCghC3
又h_C3=L，代入數(shù)據(jù)得，v3=

7gL

2

．
（3）在B球下落過程中，重力和繩的拉力做功，設(shè)兩繩做的總功為W，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
  mBgLsin30o+W=

1

2

mBv22
代入數(shù)據(jù)解得，W=

1

2

mgL
答：
（1）A球剛要落地時(shí)的速度大小為

gL 2

．
（2）C球剛要落地時(shí)的速度大小

3gL 2

．
（3）在B球運(yùn)動(dòng)過程中，兩繩對(duì)B球做的總功為

1

2

mgL．

點(diǎn)評(píng)：本題繩系系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題，關(guān)鍵要善于選擇研究的過程，分段進(jìn)行列式求解．