Question

(2004年江蘇)一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上，狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇，狗與雪橇始終沿一條直線運動．若狗跳離雪橇時雪橇的速度為v，則此時狗相對于地面的速度為v＋U(其中U為狗相對于雪橇的速度，v＋U為代數和，若以雪橇運動的方向為正方向，則v為正值，U為負值)．設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計．已知v的大小為5 m／s，U的大小為4 m／s，M＝30 kg，m＝10 kg．

(1)求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小；

(2)求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數．

(供使用但不一定用到的對數值：1g2＝0．301，1g3＝0．477)

 

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度為v1，根據動量守恒定律，有 Mv1＋m(v1＋U)＝0 狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度v1′滿足Mv1＋ mv＝(M＋m)v1′ 可解得v1′＝ 將U＝-4 m／s，v＝5 m／s，M＝30 kg，m＝10 kg代入，得 v1′＝2m／s． (2)設雪橇運動的方向為正方向，狗第(n-1)次跳下雪橇后雪橇的速度為vn-1′，則狗第(n-1)次跳上雪橇后的速度vn-1′滿足Mvn－1＋mv＝(M＋m )vn－1′ 這樣，狗第n次跳下雪橇后，雪橇的速度為vn滿足 Mvn＋m(vn＋U)＝(M＋m)vn－1′ 解得vn＝(v-U)[1－()n-1]-( )n-1 狗追不上雪橇的條件是vn≥v 可化為()n-1≤ 最后可求得n≥1＋ 代入數據，得n≥3．41 狗最多能跳上雪橇3次 雪橇最終的速度大小為v4＝5．625 m／s． 答案：(1)2 m／s    (2)5．625 m／s   3次 歸納：①應用動量守恒定律時，一般要規定好各矢量的正方向．②討論重復相互作用過程作用后情景時，總是選取第n次作用前后狀態列動量守恒定律方程，而不是一定要從第1次開始推導．如選狗第n次上下列式，有Mvn-1＋mv＝Mvn＋m(vn＋U)．

提示：