Question

在水平地面上方的真空室內存在著無限大的勻強電場和勻強磁場共同存在的區域，且電場與磁場的方向相同，在距離水平地面的某一高度處，有一個帶電量為q、質量為m的帶負電的質點，以垂直與電場方向的水平初速度v₀進入該真空室內，當磁感應強度的大小為B時，為保證帶電質點進入真空室后做直線運動，重力加速度為g．求：
（1）求電場強度E的大小和方向應滿足的條件．
（2）若帶電質點在運動到空中某一M點時立即撤去電場，此后向下運動到空中P點，空中M、N兩點間的豎直高度為H，求經過空中P點時的速率v_p．
（3）若帶電質點在運動到空中某一M點時立即撤去磁場，此后經時間t運動到空中N點，求空中M、N兩點間的豎直高度H及經過空中N點時的速率v_N．

Answer 1

分析：（1）由于洛倫茲力大小與速度成正比，要使質點進入真空室后做直線運動，質點的受力必須平衡做勻速直線運動，根據平衡條件，依據幾何關系可求出電場強度大小及其方向；
（2）撤去電場后，只有重力對質點做功，其機械能守恒，由機械能守恒定律列式求速率v_p．
（3）當撤去磁場后，帶電質點只受電場力和重力作用，在這個過程中電場力不做功，由機械能守恒定律可求出M、N兩點間的豎直高度H；由質點做類平拋運動將其速度分解
進行求解．

解答：解：（1）要使質點進入真空室后做直線運動，質點的受力必須平衡而做勻速直線運動，其受力如圖
由于帶電質點做勻速直線運動，由平衡條件和幾何關系可知
（qv0B）2+（qE）2=（mg）2
解得 E=

(mg)2-(qv0B)2

q

電場E的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）撤去電場后，只有重力對質點做功，其機械能守恒，則有
  

1

2

m

v

2 0

+mgH=

1

2

m

v

2 P

解得，v_p=

v 2 0 +2gH

（3）當撤去磁場后，帶電質點只受電場力和重力作用，這兩個力的合力大小為qv₀B，方向既垂直初速度v₀的方向也垂直電場E的方向，帶電質點做類平拋運動，則
  加速度大小為a=

qv0B

m

  H=

1

2

at2?sinθ=

qv0B

2m

t2?

qv0B

m

整理得H=

q2v02B2t2

2m2g

因電場力在這個過程中不做功，則由機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 N

=mgH+

1

2

m

v

2 0

聯立以上兩式得
  v_N=

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

答：
（1）電場強度E的大小和方向應滿足的條件分別是E=

(mg)2-(qv0B)2

q

，的方向為沿與重力方向夾角θ=arcsin

qv0B

mg

，且斜向下的一切方向
（2）經過空中P點時的速率v_p為

v 2 0 +2gH

．
（3）空中M、N兩點間的豎直高度H是

q v 2 0 B2t2

2m2g

，經過空中N點時的速率v_N是

v 2 0 + B2q2 v 2 0 t2 m2

．

點評：本題中帶電質點勻速直線運動時，由洛倫茲力、電場力與重力相平衡，結合幾何關系來綜合求解；撤去電場或磁場時，分析受力情況，根據機械能守恒及類平拋運動規律來求解．