Question

如圖所示，在圓柱形屋頂中心天花板上的O點，掛一根L=3m釣細繩，繩的下端掛一個質量為m=0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為l0N．小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9m/s的速度落在墻邊．求這個圓柱形屋頂的高度H和半徑R．（g取10m/s²）

Answer 1

【答案】分析：設繩與豎直方向夾角為θ，則cosθ=，所以θ=60°，小球在繩子斷開后做平拋運動，根據豎直方向做自由落體運動求出下落的高度，根據幾何關系即可求得H，
根據向心力公式求出繩斷時的速度，進而求出水平位移，再根據幾何關系可求R．
解答： 解：如圖（1）所示，取小球為研究對象，設繩剛要斷裂時細繩的拉力大小為T，繩與豎直方向夾角為α，則在豎直方向有：
Fcosα=mg，所以cosθ=，所以θ=60°                                                  
球做圓周運動的半徑r=Lsin60°=3×=，
O、O′間的距離為：OO′=Lcos60°=1.5m，
則O′、O″間的距離為O′O″=H-OO′=H-1.5m．
由牛頓第二定律知
Tsinθ=m
    解得：
設在A點繩斷，細繩斷裂后小球做平拋運動，落在墻邊C處．
設A點在地面上的投影為B，如答圖（2）所示．
    由運動的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
由此可得小球平拋運動的時間
t==0.6s                                                             
由平拋運動的規律可知小球在豎置方向上的位移為s_y=gt²=H-1.5m，
所以屋的高度為H=gt²+1.5m=×10×0.62m+1.5m=3.3m，
小球在水平方向上的位移為s_x=BC=v_At=m
由圖可知，圓柱形屋的半徑為R==4.8m
答：這個圓柱形屋頂的高度H為3.3m，半徑R為4.8m．
點評：本題主要考查了平拋運動的基本公式及向心力公式的應用，要求同學們能畫出小球運動的軌跡，能結合幾何關系解題，難度適中．