Question

如圖示，豎直平面內半圓形管道ADB固定在CD桿上，AB為直徑，CD過圓心O且與AB垂直，半圓管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圓管道半徑R=OB=0.2m，E點為圓管道BD中的一點，OE與CD夾角為θ=60°，兩個完全相同的可看作質點的小球，球直徑略小于管道內徑，小球質量m=0.1kg，g=10m/s²，求：
（1）如圖甲所示，當圓管道繞CD桿勻速轉動時，要使小球穩定在管道中的E點，角速度ω應該多大？
（2）如圖乙所示，圓管道保持靜止，在圓管道D點處放置一靜止小球，另一小球由靜止開始從B端管口放入，該球經過D點時（未與另一小球相碰）對管道的壓力？
（3）接（2）問，兩球在D點相碰（碰撞時間極短）后粘在一起能運動到最高點F，OF與CD夾角為α=37⁰，求此過程中摩擦力所做的功？

Answer 1

分析：（1）對小球受力分析，小球受重力、支持力作用做勻速圓周運動，合外力提供向心力，根據向心力公式列方程即可正確求解；
（2）根據機械能守恒求出小球經過D點時的速度大小，然后正確受力分析，根據向心力公式列方程求解即可；
（3）碰撞過程中動量守恒，根據動量守恒求出二者碰后速度大小，然后根據動能定理列方程即可求解

解答：解：（1）小球在E點時受重力和管道的彈力，其合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
mgtanθ=mω²r
r=Rsinθ
聯立解得：ω=10rad/s．
要使小球穩定在管道中的E點，角速度ω=10rad/s．
（2）設小球運動到D點時速度為v₁，由機械能守恒定律可得：

1

2

m

v

2 1

=mgR
解得：v₁=2m/s
設小球受到管道的彈力為N₂，沿半徑方向由牛頓第二定律可得：

m v 2 1

R

=N2-mg
解得：N₂=3N
故根據牛頓第三定律，小球過D點時對管道的壓力為：3N．
（3）設碰后瞬間兩球的速度為v₂，根據動量守恒定律：
mv₁=2mv₂
解得：v₂=1m/s．
設摩擦力做功為w，由功能關系可得：
-2mgR(1-cosα)+W=-

1

2

(2m)

v

2 2

解得：W=-0.02J．
故該過程中摩擦力所做功為：W=-0.02J．
答：（1）如圖甲所示，當圓管道繞CD桿勻速轉動時，要使小球穩定在管道中的E點，角速度ω應該為10rad/s；
（2）如圖乙所示，圓管道保持靜止，在圓管道D點處放置一靜止小球，另一小球由靜止開始從B端管口放入，該球經過D點時（未與另一小球相碰）對管道的壓力為3N；
（3）接（2）問，兩球在D點相碰（碰撞時間極短）后粘在一起能運動到最高點F，OF與CD夾角為α=37⁰，此過程中摩擦力所做的功為-0.02J．

點評：處理圓周運動問題的思路是：找圓心，定半徑，受力分析，列向心力公式方程，本題結合圓周運動考查了功能關系、動量守恒等知識，是考查學生綜合應用知識能力的好題．