Question

如圖所示，左側(cè)為一個半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，碗的內(nèi)表面及碗口光滑。右側(cè)是一個固定光滑斜面，斜面足夠長，傾角θ＝30°。一根不可伸長、不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，線的兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m₁和m₂，且m₁＞m₂。開始時m₁恰在碗口水平直徑右端A處，m₂在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直。當(dāng)m₁由靜止釋放運(yùn)動到圓心O的正下方B點(diǎn)時細(xì)繩突然斷開，不計(jì)細(xì)繩斷開瞬間的能量損失。

（1）m₁由靜止釋放運(yùn)動到圓心O的正下方B點(diǎn)時m₁和m₂的速度大小之比

（2）求小球m₂沿斜面上升的最大距離s；

（3）若已知細(xì)繩斷開后小球m₁沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為，求兩球質(zhì)量之比。

Answer 1

（1）（2）  （3）

（1）設(shè)重力加速度為g，小球m₁到達(dá)最低點(diǎn)B時m₁、m₂速度大小分別為v₁、v₂，由運(yùn)動合成與分解得     ①

（2）對m₁、m₂組成的系統(tǒng)由功能關(guān)系得：

     ②

根據(jù)幾何關(guān)系得：h＝Rsin 30°     ③ks5u

設(shè)細(xì)繩斷后m₂沿斜面上升的距離為s′，對m₂由機(jī)械能守恒定律得

     ④

根據(jù)幾何關(guān)系得：小球沿斜面上升的最大距離s＝R＋s′    ⑤

聯(lián)立①②③④⑤解得       ⑥

（3）對m₁由機(jī)械能守恒定律得：       ⑦

聯(lián)立①②③⑦得