Question

如圖所示，左側(cè)為一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，碗的內(nèi)表面及碗口光滑．右側(cè)是一個(gè)固定光滑斜面，斜面足夠長(zhǎng)，傾角θ=30°．一根不可伸長(zhǎng)的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，線的兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m₁和m₂，且m₁＞m₂．開(kāi)始時(shí)m₁恰在右端碗口水平直徑A處，m₂在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時(shí)連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直．當(dāng)m₁由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷開(kāi)，不計(jì)細(xì)繩斷開(kāi)瞬間的能量損失．

（1）求小球m₂沿斜面上升的最大距離s；
（2）若已知細(xì)繩斷開(kāi)后小球m₁沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為R/2，求

m1

m2

=

 

．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成與分解求出小球m₁到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)m₁、m₂速度關(guān)系，對(duì)m₁、m₂系統(tǒng)由功能關(guān)系列出方程，細(xì)繩斷后m₂沿斜面上升，對(duì)m₂由機(jī)械能守恒定律列出方程，根據(jù)幾何關(guān)系寫出小球m₂沿斜面上升的最大距離的表達(dá)式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）對(duì) m₁由機(jī)械能守恒定律列出方程，結(jié)合（1）中的方程，聯(lián)立即可求解．

解答：解：（1）設(shè)重力加速度為g，小球m₁到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)m₁、m₂速度大小分別為v₁、v₂，
由運(yùn)動(dòng)合成與分解得v1=

2

v2①
對(duì)m₁、m₂系統(tǒng)由功能關(guān)系得
m1gR-m2gh=

1

2

m1v12+

1

2

m2v22②
h=

2

Rsin30°③
設(shè)細(xì)繩斷后m₂沿斜面上升的距離為s′，對(duì)m₂由機(jī)械能守恒定律得m2gs′sin30°=

1

2

m2v

2 2

④
小球m₂沿斜面上升的最大距離s=

2

R+s′⑤
聯(lián)立得s=(

2

+

2m1- 2 m2

2m1+m2

)R⑥
（2）對(duì) m₁由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m1v12=m1g

R

2

⑦
聯(lián)立①②③⑦得

m1

m2

=

2 2 +1

2

≈1.9
答：（1）求小球m₂沿斜面上升的最大距離為(

2

+

2m1- 2 m2

2m1+m2

)R；（2）1.9

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律，運(yùn)動(dòng)合成分解知識(shí)，學(xué)生綜合分析理解及運(yùn)算能力，難度適中．