Question

課堂上老師給同學們布置了這樣一個題目：
假設地球是一半徑為R，質量分布均勻的球體．一礦井深度為d．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．求礦井底部和地球表面處的重力加速度大小之比．
李明同學的思考過程如下：
由等式GM=gR²（G為引力常量，M為地球質量，R為地球半徑，g為地球表面處的重力加速度）變形后得到g=

GM

R2

，則礦井底部的重力加速度g′與地球表面處的重力加速度g大小之比

g′

g

=

R2

(R-d)2

．
下列說法中正確的是（　�。�

A．李明的答案是正確的

B．李明的答案是錯誤的，因為等式GM=gR²不成立

C．李明的答案是錯誤的，因為本題不能用等式GM=gR²求解

D．李明的答案是錯誤的，本題雖然能用等式GM=gR²求解，但他分析問題時出現錯誤

Answer 1

分析：根據題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產生的加速度，根據地球質量分布均勻得到加速度的表達式，再根據半徑關系求解即可．

解答：解：小明分析時隨明確在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，但是沒有理解“質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力”，所以才出現小明的答案，故ABC錯誤，D正確．
故選：D．

點評：抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在礦井底部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在礦井底部所謂的地球的質量不是整個地球的質量而是半徑為（R-d）的球體的質量．