Question

如圖所示，六段相互平行的金屬導軌在同一水平面內，長度分別為L和2L，寬間距的導軌間相距均為2L、窄間距的導軌間相距均為L，最左端用導線連接阻值為R的電阻，各段導軌間均用導線連接，整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中．質量為m的導體棒可在各段導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直．導軌和導體棒電阻均忽略不計．現使導體棒從ab位置以初速度v₀垂直于導軌向右運動，則

（1）若導體棒在大小為F、沿初速度方向的恒定拉力作用下運動，到達cd位置時的速度為v，求在此運動的過程中電路產生的焦耳熱．
（2）若導體棒在水平拉力作用下向右做勻速運動，求導體棒運動到cd位置的過程中，水平拉力做的功和電路中電流的有效值．
（3）若導體棒向右運動的過程中不受拉力作用，求運動到cd位置時的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）外力F所做的功等于桿子動能的增加量和整個回路產生的熱量，根據功能關系求出產生的焦耳熱．
（2）根據切割產生的感應電動勢以及閉合電路歐姆定律分別求出在寬間距和窄間距軌道上運動時所受的安培力，從而根據平衡得出外力的大小，求出整個過程中外力所做的功．
根據電流有效值的定義，求出直流電在這段過程中產生的焦耳熱，焦耳熱等于外力做的功，知求出的直流電為該電路中電流的有效值．
（3）分別對寬間距和窄間距軌道運動牛頓第二定律和速度時間公式，通過微分的方法求出速度的變化量，從而得出運動到cd位置時的速度大小．

解答：解：（1）設產生的焦耳熱為Q，由功能關系有9FL=Q+(

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

)
解得  Q=9FL+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2
（2）導體棒在寬間距和窄間距軌道上運動時，電路中產生的感應電流分別為I1=

2BLv0

R

      I2=

BLv0

R

導體棒受到的拉力分別為F₁=F_安=2BI₁L    F₂=BI₂L 
拉力做功分別為  W₁=3F₁LW₂=6F₂L
則水平拉力做的功 W=W1+W2=

18B2L3v0

R

設電流的有效值為I，由功能關系有W=I²Rt
其中  t=

9L

v0

解得  I=

2 BLv0

R

（3）設導體棒在每段寬間距和窄間距軌道上運動速度變化的大小分別為△v₁和△v₂，在寬間距軌道上，根據牛頓第二定律，在t～t+△t時間內有△v=

F

m

△t
則  △v1=Σ

2BL

m

I△t
而△q=I△tq1=

. E

R

?△t1=

△?1

R

則  △v1=

4B2L3

Rm

同理  △v2=

2B2L3

Rm

所以導體棒運動到cd位置時的速度大小v′=v0-3(△v1+△v2)=v0-

18B2L3

mR

．
答：（1）在此運動的過程中電路產生的焦耳熱為Q=9FL+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2．
（2）水平拉力做的功

18B2L3v0

R

，電路中電流的有效值I=

2 BLv0

R

．
（3）運動到cd位置時的速度大小v0-

18B2L3

mR

．

點評：本題綜合考查了閉合電路歐姆定律、切割產生的感應電動勢公式、功能關系、牛頓第二定律等知識，綜合性較強，尤其第三問，需采用微分思想解決，對學生的能力要求較高．