Question

如圖所示，六段相互平行的金屬導軌在同一水平面內，長度分別為L和2L，寬間距的導軌間相距均為2L、窄間距的導軌間相距均為L，最左端用導線連接阻值為R的電阻，各段導軌間均用導線連接，整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度為B的勻強磁場中．質量為m的導體棒可在各段導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直．導軌和導體棒電阻均忽略不計．現使導體棒從ab位置以初速度v₀垂直于導軌向右運動，則



（1）若導體棒在大小為F、沿初速度方向的恒定拉力作用下運動，到達cd位置時的速度為v，求在此運動的過程中電路產生的焦耳熱．
（2）若導體棒在水平拉力作用下向右做勻速運動，求導體棒運動到cd位置的過程中，水平拉力做的功和電路中電流的有效值．
（3）若導體棒向右運動的過程中不受拉力作用，求運動到cd位置時的速度大小．

Answer 1

（1）設產生的焦耳熱為Q，由功能關系有9FL=Q+(

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

)
解得  Q=9FL+

1

2

m

v

20

-

1

2

mv2
（2）導體棒在寬間距和窄間距軌道上運動時，電路中產生的感應電流分別為I1=

2BLv0

R

      I2=

BLv0

R

導體棒受到的拉力分別為F₁=F_安=2BI₁L    F₂=BI₂L 
拉力做功分別為  W₁=3F₁LW₂=6F₂L
則水平拉力做的功 W=W1+W2=

18B2L3v0

R

設電流的有效值為I，由功能關系有W=I²Rt
其中  t=

9L

v0

解得  I=

2 BLv0

R

（3）設導體棒在每段寬間距和窄間距軌道上運動速度變化的大小分別為△v₁和△v₂，在寬間距軌道上，根據牛頓第二定律，在t～t+△t時間內有△v=

F

m

△t
則  △v1=Σ

2BL

m

I△t
而△q=I△tq1=

. E

R

?△t1=

△?1

R

則  △v1=

4B2L3

Rm

同理  △v2=

2B2L3

Rm

所以導體棒運動到cd位置時的速度大小v′=v0-3(△v1+△v2)=v0-

18B2L3

mR

．
答：（1）在此運動的過程中電路產生的焦耳熱為Q=9FL+

1

2

m

v

20

-

1

2

mv2．
（2）水平拉力做的功

18B2L3v0

R

，電路中電流的有效值I=

2 BLv0

R

．
（3）運動到cd位置時的速度大小v0-

18B2L3

mR

．