Question

1．如圖所示，光滑細管ABC固定在豎直平面內，其中，AB段是半徑為r的半圓，BC段是半徑為R的四分之一圓弧，兩段圓弧的圓心在同一水平線上．一小球從管口A上方某處P點由靜止釋放，最后恰能夠到達C點，求：
（1）小球釋放點距離A點的高度；
（2）若將小球釋放的高度變為原來的2倍，小球到達C點時對管壁的彈力的大小與方向；
（3）若將小球釋放的高度變為原來的2倍，則小球離開C點后到落地時水平位移為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰能到達C點，到達C點的速度為0，由P到C的過程，只有重力做功，小球的機械能守恒，運用機械能守恒定律求小球釋放點距離A點的高度；
（2）從P到C，由機械能守恒定律求出小球到達C點的速度，在C點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求管壁對小球的彈力，再由牛頓第三定律得到小球對管壁的彈力．
（3）離開C點后做平拋運動，由分位移公式求落地時水平位移．

解答 解：（1）小球恰能到達C點，則 v_c=0
從P到C，由機械能守恒定律得：
$mg（h-R）=\frac{1}{2}mv_c^2=0$
解得：h=R
（2）從P到C，由機械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}mv_c^2$
得：${v_c}=\sqrt{2gR}$
在C點，由牛頓第二定律得：$F+mg=m\frac{v_c^2}{R}$
得：F=mg，方向向下
由牛頓第三定律知，小球到達C點時對管壁的彈力的大小為mg，方向向上．
（3）離開C點后做平拋運動，則有：
$R+r=\frac{1}{2}g{t^2}$
x=v_ct
聯立解得：$x=2\sqrt{R（R+r）}$
答：（1）小球釋放點距離A點的高度是R；
（2）若將小球釋放的高度變為原來的2倍，小球到達C點時對管壁的彈力的大小為mg，方向向上；
（3）若將小球釋放的高度變為原來的2倍，則小球離開C點后到落地時水平位移為2$\sqrt{R（R+r）}$．

點評 本題的關鍵要理清小球的運動情況，把握小球到達C點的臨界速度，運用機械能守恒定律、平拋運動基本公式進行研究．