Question

（19分）如圖所示的裝置中，兩個光滑定滑輪的半徑很小，表面粗糙的斜面固定在地面上。現用一根伸長量可以忽略的輕質細繩跨過定滑輪連接可視為質點的甲、乙兩物體，其中甲放在斜面上且連線與斜面平行，乙懸在空中，放手后，甲、乙均處于靜止狀態。當一水平向右飛來的子彈擊中乙（未穿出）后，子彈立即和乙一起在豎直平面內來回運動，若乙在擺動過程中，懸線偏離豎直方向的最大偏角為α＝60°，整個過程中，甲均未動，且乙經過最高點（此時乙沿繩方向的合外力為零）和最低點時，甲在斜面上均即將滑動。已知乙的重心到懸點O的距離為l＝0.9 m，乙的質量為m_乙＝0.99kg，子彈的質量m＝0.01 kg，重力加速度g取10m/s²，求：

（1）子彈射入射以前的速度大小；

（2）斜面對甲的最大靜摩擦力。

Answer 1

解析：

（1）設子彈射入物塊前的速度大小為v₀，射入后共同速度的大小為v，

子彈擊中乙的過程中動量守恒，有 mv₀＝（m＋m_乙）v     ①         （3分）

乙上擺到最高點的過程，機械能守恒

有                   ②           （3分）

聯立②③解得 v₀＝300m/s                                          （2分）

（2）設甲物體的質量為m_甲，說受的最大靜摩擦力為f，斜面的傾角為θ，

當乙物體運動到最高點時，繩子上的彈力設為T₁，

T₁＝（m＋m_乙）gcosθ                         ③          （2分）

此時甲物體恰好不下滑，有 m_甲g sinθ＝f＋T₁           ④         （2分）

當乙物體運動到最低點時，繩子上的彈力設為T₂，

由牛頓第二定律：           ⑤         （2分）

此時甲物體恰好不上滑，有 m_甲g sinθ＋f＝T₂            ⑥       （2分）

聯立②③④⑤⑥解得 N               （3分）