Question

如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置．兩個質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內，a通過最高點A時，對管壁上部的壓力為3mg，b通過最高點A時，對管壁下部的壓力為0.75mg，求：
（1）a球在最高點速度．
（2）b球在最高點速度．
（3）a、b兩球落地點間的距離．

Answer 1

分析：（1）a球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點速度．
（2）b球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出b球在最高點速度．
（3）兩球從最高點飛出后均做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，由高度2R求出運動時間．水平方向做勻速直線運動，由速度和初速度求解水平位移，a、b兩球落地點間的距離等于位移之差．

解答：解：
（1）以a球為對象，設其到達最高點時的速度為v_a，根據向心力公式有：
         mg+Fa=m

v 2 a

R

    又F_a=3mg  
    代入解得va=2

gR

（2）以b球為對象，設其到達最高點時的速度為v_b，根據向心力公式有
         mg-Fb=m

v 2 b

R

  
        又F_b=0.75mg   即

1

4

mg=m

v 2 b

R

    所以   vb=

1

2

gR

（3）a、b兩球脫離軌道的最高點后均做平拋運動，所以a、b兩球的水平位移分別為：
      sa=vat=2

gR

×

4R g

=4R
      sb=vbt=

1

2

gR

×

4R g

=R
故a、b兩球落地點間的距離△s=s_a-s_b=3R．
答：（1）a球在最高點速度va=2

gR

．
    （2）b球在最高點速度vb=

1

2

gR

．
    （3）a、b兩球落地點間的距離是3R．

點評：本題是向心力知識和平拋運動的綜合應用，常規題，考試時不能失誤．