Question

如圖所示，半徑為R 的光滑圓形軌道豎直固定放置，質量為m 的小球在圓形軌道內側做圓周運動．小球通過軌道最高點時恰好與軌道間沒有相互作用力．已知當地的重力加速度大小為g，不計空氣阻力．試求：
（1）小球通過軌道最高點時速度的大小；
（2）小球通過軌道最低點時角速度的大小；
（3）小球通過軌道最低點時受到軌道支持力的大小．

Answer 1

分析：（1）小球通過軌道最高點時恰好與軌道間沒有相互作用力，故由重力提供向心力，根據圓周運動向心力公式即可得出最高點的速度；
（2）可以根據動能定理求出最低點的速度，再根據速度和角速度的關系即可求出角速度；
（3）在最低點由支持力和重力的合力提供向心力，根據圓周運動向心力公式即可求得支持力的大小．

解答：解：（1）設小球通過軌道最高點時速度的大小為v₁，根據題意和圓周運動向心力公式得：
                mg=m

v12

R

             解得：v₁=

gR

   （2）設小球通過軌道最低點的速度大小為v₂，從最高點到最低點的過程中運用動能定理得：
           2mgR=

1

2

mv22 -

1

2

mv12   ①
           v₂=ωR                   ②
          由①②解得：ω=

5g R

   （3）設小球通過軌道最低點時受到軌道支持力大小為F_N，根據圓周運動向心力公式得：
          F_N-mg=m

v22

R

           ③
         由①③解得：F_N=6mg
答：（1）小球通過軌道最高點時速度的大小為

gR

；（2）小球通過軌道最低點時角速度的大小為

5g R

；（3）小球通過軌道最低點時受到軌道支持力的大小為6mg．

點評：該題是動能定理及圓周運動向心力公式的直接應用，要抓住恰好到達最高點的隱含條件是由重力來提供向心力，難度不大，屬于基礎題．