Question

如圖所示，圓管構成的半圓形軌道豎直固定在水平地面上，軌道半徑為R，MN為直徑且與水平面垂直，直徑略小于圓管內徑的小球A以某一速度沖進軌道，到達半圓軌道最高點M時與靜止于該處的質量與A相同的小球B發生碰撞，碰后兩球粘在一起飛出軌道，落地點距N為2R．重力加速度為g，忽略圓管內徑，空氣阻力及各處摩擦均不計，求
（1）粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間t；
（2）小球A沖進軌道時速度v的大小．
（3）小球A與小球B球碰撞前瞬間對軌道的壓力多大？方向如何？

Answer 1

分析：（1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據高度求出平拋運動的時間．
（2）根據落地的水平位移求出結合體的初速度，根據動量守恒定律求出A球與B球碰撞前的速度，再根據機械能守恒定律求出小球A沖進軌道時速度v的大小．
（3）根據牛頓第二定律，通過豎直方向上的合力提供向心力求出軌道對球的作用力，從而求出球對軌道的壓力．

解答：解：（1）粘合后的兩球飛出軌道后做平拋運動，豎直方向分運動為自由落體運動，有：2R=

1

2

gt2…①
解得：t=2

R g

…②
（2）設球A的質量為m，碰撞前速度大小為v₁，把球A沖進軌道最低點時的重力勢能定為0，由機械能守恒定律知：
 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

+2mgR…③
設碰撞后粘合在一起的兩球速度大小為v₂，由動量守恒定律知：mv₁=2mv₂₂…④
飛出軌道后做平拋運動，有：2R=v₂t…⑤
 綜合②③④⑤式得：v=2

2gR

（3）N+mg=m

v 2 1

R

 N=3mg
根據牛頓第三定律  N′=3mg   方向豎直向上．
答：（1）粘合后的兩球從飛出軌道到落地的時間為t=2

R g

．
（2）小球A沖進軌道時速度v的大小v=2

2gR

．
（3）小球A與小球B球碰撞前瞬間對軌道的壓力為3mg，方向豎直向上．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，關鍵是理清過程，選擇合適的規律進行求解．