Question

9．《割繩子》是一款時下深受人們喜愛的益智類小游戲，故事也相當有趣，在適當的時間剪斷適當的繩子，讓繩子上綁著的糖果掉入綠豆蛙嘴里．難度在于，必須計劃好讓糖果在掉落的過程中，吃到所有的星星．下圖為某一關卡的游戲框架簡圖，其中O₁、O₂為同一直線上固定繩子的兩個釘子，繩長l₁，A點為糖果繞O₂運動的最低點，BC為表面光滑的滑塊，與水平方向夾角為 θ，BC長為 l₃，CD為動摩擦因數μ的草地．（糖果可視為質點，取重力加速度g=10m/s²）

（1）若割斷繩子使糖果在A點水平拋出，求此時糖果對繩子的拉力．
（2）若糖果拋出后剛好落到滑塊頂端，并沿滑塊斜面下滑，求A點與滑塊頂端B點的水平距離l₂的大小．
（3）若在B點碰撞前后糖果速度大小不變，CD間草地滿足什么關系綠豆蛙才能順利吃到糖果？

Answer 1

分析 （1）根據動能定理和向心力公式聯合求解
（2）根據平拋運動的規律求A點與滑塊頂端B點的水平距離l₂的大小
（3）先根據平拋運動的規律求出平拋的豎直位移，再根據動能定理求出CD間的距離

解答 解：（1）根據動能定理：$mg{l}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
根據向心力公式：$T-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{l}_{1}^{\;}}$②
得到T=3mg
由牛頓第三定律得，糖果對繩子拉力T′=3mg
（2）由平拋運動速度方向與水平方向夾角 $tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}=\frac{gt}{{v}_{A}^{\;}}$
可得$t=\frac{{v}_{A}^{\;}tanθ}{g}$
則${l}_{2}^{\;}={v}_{A}^{\;}•t=\frac{{v}_{A}^{2}tanθ}{g}=2{l}_{1}^{\;}tanθ$
（3）設平拋運動位移與水平方向夾角為α，則有tanθ=2tanα
可平拋運動豎直方向位移為 $h={l}_{1}^{\;}ta{n}_{\;}^{2}θ$
設CD間距離為x，糖果運動到D點速度減為0時x最大，
對A-D運動過程應用動能定理
$mgh-μmg{l}_{3}^{\;}cosθ-μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 $x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$
答：（1）此時糖果對繩子的拉力為3mg．
（2）A點與滑塊頂端B點的水平距離l₂的大小為$2{l}_{1}^{\;}tanθ$．
（3）若在B點碰撞前后糖果速度大小不變，CD間草地滿足關系$x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$綠豆蛙才能順利吃到糖果

點評 解決本題的關鍵運動過程的分析，正確運用物理規律，綜合考查了向心力公式、動能定理及平拋運動的規律，有一定的難度．