Question

我國“嫦娥一號”月球探測器在繞月球成功運行之后，為進一步探測月球的詳細情況，又發射了一顆繞月球表面飛行的科學試驗衛星．假設衛星繞月球作圓周運動，月球繞地球也作圓周運動，且軌道都在同一平面內．己知衛星繞月球運動周期T₀，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R₀，月心與地心間的距離為r_om，引力常量G，試求：
（1）月球的平均密度ρ
（2）月球繞地球運轉的周期T．

Answer 1

分析：1、抓住繞月表面飛行的衛星受到的萬有引力提供圓周運動向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm可計算月球的質量，再根據密度的定義式可計算月球的密度．
2、抓住地球表面重力與萬有引力相等

GMm表

R 2 0

=m表g和月球受到地球的萬有引力提供圓周運動向心力

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom可計算月球繞地球運動的周期．

解答：解：（1）設衛星質量為m，對于繞月球表面飛行的衛星，由萬有引力提供向心力

Gmm′

R 2 m

=m′

4π2

T 2 0

Rm
得   m=

4π2 R 3 m

G T 2 0

又據   ρ=

m

4 3 π R 3 m

得   ρ=

3π

G T 2 0

（2）月球的球心繞地球的球心運動的周期為T．
地球的質量為M，對于在地球表面的物體m_表
有    

GMm表

R 2 0

=m表g
即    GM=

R

2 0

g
月球繞地球做圓周運動的向心力來自地球引力
即    

GMm

r 2 om

=m

4π2

T2

rom
得T=

2πr0m

R0

?

rom g

答：（1）月球的平均密度ρ為

3π

G T 2 0

．
（2）月球繞地球運轉的周期T為

2πr0m

R0

?

rom g

．

點評：本題主要掌握天體運動的兩個問題：1、萬有引力提供向心力，2、星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．掌握好這兩個關系可以解決所以天體問題．