Question

6．如圖，在豎直平面內x軸下方有感應強度為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場和電場強度為E、豎直向下的勻強電場．一帶電小球從y軸上P（0，h）點以初速度v₀豎直向下拋出．小球穿過x軸后恰好做勻速圓周運動．若不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球在x軸下方做勻速圓周運動的半徑；
（2）小球從P點出發到第三次經過x軸所用時間．

Answer 1

分析 （1）小球先做豎直下拋運動，根據速度位移公式列式求解進入電磁場的速度；在電磁場中做勻速圓周運動，重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律列式求解；
（2）先確定運動軌跡，然后結合圓周運動的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$列式求解．

解答 解：（1）在x軸上方，是勻加速直線運動，根據速度位移公式，有：
${v^2}-v_0^2=2gh$
解得：$v=\sqrt{v_0^2+2gh}$
設小球的質量為m，因帶電小球在復合場中作勻速圓周運動，故電場力一定與重力平衡，即：
mg=qE，電場力方向豎直向上，
則小球帶負電；
設在復合場中小球的運動半徑為R，則：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$
聯立解得：R=$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$
（2）小球的運動軌跡如圖所示：

從P到O過程，有：
h=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$
從O到A過程：
${t}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{qB}$
從A向上到返回A點過程，有：
${t}_{3}=\frac{（-v）-v}{-g}$
總時間：
t=t₁+t₂+t₃
聯立解得：
t=$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$
答：（1）小球在x軸下方做勻速圓周運動的半徑為$\frac{{E\sqrt{2gh+v_0^2}}}{Bg}$；
（2）小球從P點出發到第三次經過x軸所用時間為$\frac{{3\sqrt{v_0^2+2gh}-{v_0}}}{g}+\frac{πE}{gB}$．

點評 本題關鍵是明確小球的受力情況和運動情況，分勻變速直線運動過程和勻速圓周運動過程進行分析，對勻速圓周運動過程，要能夠找到向心力來源，根據牛頓第二定律列式分析，不難．