Question

15．如圖，裝置由一理想彈簧發射器和兩個軌道組成．其中軌道Ⅰ由光滑軌道AB與粗糙直軌道BC平滑連接，高度差分別是h₁=0.20m、h₂=0.30m，粗糙直軌道BC與水平面成30°傾角，當彈簧壓縮量為d時，恰能使質量m=0.1kg的滑塊沿軌道Ⅰ上升到B點；當彈簧壓縮量為2d時，恰能使滑塊沿軌Ⅰ上升到C點．另一條軌道Ⅱ由AE、螺旋圓形EFG和GB二段光滑軌道與粗糙直軌道BC平滑連接，螺旋圓形EFG的半徑為R=0.50m，且A、F兩點等高．（已知彈簧彈性勢能與壓縮量的平方成正比，g取10m/s²）
（1）當彈簧壓縮量為d時，求彈簧的彈性勢能E_P及滑塊離開彈簧瞬間的速度大小；
（2）求滑塊與軌道BC間的動摩擦因數；
（3）當彈簧壓縮量為d時，若沿軌道Ⅱ運動，滑塊能否上升到B點？請通過計算說明理由．

Answer 1

分析 （1）當彈簧壓縮量為d時，釋放后彈簧的彈性勢能轉化為滑塊的動能，滑塊在軌道Ⅰ上升到B點的過程中，滑塊的動能轉化為重力勢能，由機械能守恒定律求解．
（2）當彈簧壓縮量為2d時，彈簧的彈性勢能是彈簧壓縮量為d時彈性勢能的4倍，對滑塊釋放到C的整個過程，運用能量守恒定律列式，可求得滑塊與軌道BC間的動摩擦因數．
（3）若要能使滑塊上升到B點，根據機械能守恒定律分析能否上升到B點．

解答 解：（1）當彈簧壓縮量為d時，根據機械能守恒定律得彈簧的彈性勢能為：
E_P=mgh₁=0.1×10×0.2J=0.2J
設滑塊離開彈簧瞬間的速度大小為v₁．由 E_P=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$得：v₁=2m/s
（2）當彈簧壓縮量為2d時，由題可得：彈簧的彈性勢能是彈簧壓縮量為d時彈性勢能的4倍，即為：
  E_P2=4E_P=0.8J
對滑塊從彈簧釋放后運動到C點的過程，根據能量守恒定律得：
   E_P2=mg（h₁+h₂）+μmgcos30°•$\frac{{h}_{2}}{sin30°}$
解得：μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（3）根據機械能守恒定律知，當彈簧壓縮量為d時，若滑塊到達F，到達F點時的速度為：v_F=v₁=2m/s
滑塊恰能圓環最高點應滿足的條件是：
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得 v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s
因為v_F＜v₀，所以滑塊不能越過F點，也就不能到達B點．
答：（1）當彈簧壓縮量為d時，彈簧的彈性勢能是0.2J，滑塊離開彈簧瞬間的速度大小是2m/s；
（2）滑塊與軌道BC間的動摩擦因數是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）當彈簧壓縮量為d時，若沿軌道Ⅱ運動，滑塊不能上升到B點．

點評 解決本題的關鍵要明確能量是如何轉化的，注意選擇解題過程，運用能量守恒定律研究．