Question

16．如圖所示，兩根長度均為l的剛性輕桿，一端通過一質量為m的球形鉸鏈互相連接，另一端分別接質量為m和2m的小球．將此裝置兩桿并攏，鉸鏈向上、豎直地放在桌上．輕敲一下，使球往兩邊滑，但兩桿始終保持在豎直面內．已知摩擦可忽略．求：
（1）鉸鏈碰桌前的速度．
（2）當兩稈夾角為 90°時，質量為2m的小球的速度和位移．

Answer 1

分析 （1）水平方向動量守恒，鉸鏈球與桌面相碰時，三球的水平速度同為零，只是鉸鏈球有豎直向下速度u聯合地面，根據機械能守恒即可求解；
（2）根據系統動量守恒和機械能守恒列式，同時找出三球的關聯速度；

解答 解：（1）水平方向動量守恒，鉸鏈球與桌面相碰時，三球的水平速度同為零，只是鉸鏈球有豎直向下速度u聯合地面，根據機械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{u}_{\;}^{2}=mgl$，$u=\sqrt{2gl}$
（2）如圖所示，

由水平方向動量守恒可得
${v}_{1}^{\;}+{u}_{1}^{\;}=2{v}_{2}^{\;}$①
由機械能守恒可得
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+\frac{1}{2}（2m）{v}_{2}^{2}=mgl（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$
即${v}_{1}^{2}+（{u}_{1}^{2}+{u}_{2}^{2}）+2{v}_{2}^{2}=（2-\sqrt{2}）gl$②
又由運動關聯
${v}_{1}^{\;}cos45°=（{u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}）cos45°$
${v}_{2}^{\;}cos45°=（{u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}）cos45°$
得${v}_{1}^{\;}={u}_{1}^{\;}+{u}_{2}^{\;}$，${v}_{2}^{\;}={u}_{2}^{\;}-{u}_{1}^{\;}$③
聯立①②③式可解得質量為2m的小球速度為
${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$
由幾何關系可得質量為2m的小球的位移為l，方向水平向右
答：（1）鉸鏈碰桌前的速度$\sqrt{2gl}$．
（2）當兩稈夾角為 90°時，質量為2m的小球的速度$\sqrt{\frac{3}{10}（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）gl}$和位移l．

點評 本題考查了動量守恒定律和機械能守恒定律，關鍵是明確守恒的條件和對象，同時注意個小球速度之間的關聯，有一定的難度．