Question

11．在納米技術中需要移動式修補原子，必須使在不停地做熱運動（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來且能在一個小的空間區域內停留一段時間．為此華裔諾貝爾物理獎得主朱棣文發明了“激光致冷”技術．若把原子和入射光子看成兩個小球，則“激光致冷”與下述力學模型類似．一質量為M的小球A以速度v₀水平向右運動，如圖所示，一個動量大小為P的小球B水平向左射向小球A并與之發生碰撞，當兩球形變量最大時形變量突然被鎖定一段時間△T，然后突然解除鎖定使小球B以大小相同的動量p水平向右彈出．緊接著小球B再次以大小為p的動量水平向左射向小球A，如此不斷重復上述過程，小球B每次射入時動量大小為p，彈出時動量大小也為p，最終小球A將停止運動．設地面光滑，除鎖定時間△T外，其他時間均可不計．求：
（1）小球B第一次入射后再彈出時，小球A的速度大小和這一過程中小球A動能的減少量．
（2）從小球B第一次入射開始到小球A停止運動所經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）小球射入小車和從小車中彈出的過程中，小球和小車所組成的系統動量守恒，由動量守恒定律列式可求得小車的速度大小．并能求小車動能的減少量；
（2）小球第二次入射和彈出的過程小球和小車所組成的系統動量守恒．由動量守恒定律得出小球被彈出時小車的速度，運用歸納法分析得出小球重復入射和彈出的次數n．即求出從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間

解答 解：（1）小球B射入和彈出的過程中，小球B與小球A組成的系統動量守恒，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：Mv₀-p=Mv′₁，Mv′₁=Mv₁+p，
由以上兩式解得：v₁=v₀-$\frac{2p}{M}$，
此過程中小球A動能的減少量為：△E_k=$\frac{1}{2}$Mv₀²-$\frac{1}{2}$Mv₁²=2p（v₀-$\frac{p}{M}$）；
（2）小球第二次入射和彈出的過程及以后重復進行的過程中，小球B與小球A組成的系統動量守恒，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：Mv₁-p=Mv′₂，Mv′₂=m=Mv₂+p，
由以上兩式解得：v₂=v₁-$\frac{2p}{M}$=v₀-2×$\frac{2p}{M}$，
同理可推得：v_n=v₀-n×$\frac{2p}{M}$，
要使小球A車停下來，即v_n=0                        
小球B重復入射和彈出的次數為：n=$\frac{M{v}_{0}}{2p}$，
小球A停止運動所經歷的時間為：t=n×△T=$\frac{M{v}_{0}}{2p}$△T；
答：（1）小球B第一次入射后再彈出時，小球A的速度大小為v₀-$\frac{2p}{M}$，這一過程中小球A動能的減少量為2p（v₀-$\frac{p}{M}$）．
（2）從小球B第一次入射開始到小球A停止運動所經歷的時間為：$\frac{M{v}_{0}}{2p}$△T．

點評 本題考查了動量守恒定律的應用，分析清楚小球的運動過程是解題的關鍵；本題用小球與帶有彈簧碰撞的模型模擬“激光制冷”，要善于建立模型，研究過程，關鍵要運用歸納法得到小車的速度表達式．