Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律．天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX――3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成．兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．

(1)可見星A所受暗星B的引力F_a可等效為位于O點處質量為的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為m₁、m₂，試求(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的質量m₂與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁之間的關系式；

(3)恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運行周期T＝4.7 π×10⁴ s，質量m₁＝6 m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎．(G＝6.67×10^－11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

答案：
解析：

(1)本題綜合考查萬有引力定律、圓周運動、向心力公式、牛頓第二定律等知識．A、B繞著共同的圓心做半徑不同的勻速圓周運動，它們之間的萬有引力互為對方的向心力．解題時要抓住它們具有相同的角速度這一條件，然后利用萬有引力充當向心力，分別研究A、B就可計算，得出結果．在第三問判斷中，要充分利用好“如果其質量大于太陽質量ms的2倍，它將有可能成為黑洞”這一條件． 　　設A、B圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω．由牛頓運動定律，有 　　FA＝m1ω2r1　FB＝m2ω2r2 　　FA＝FB 　　設A、B之間的距離為r，又r＝r1＋r2，由上述各式得r＝　① 　　由萬有引力定律，有FA＝ 　　將①代入得FA＝，令FA＝ 　　比較可得＝．　② 　　(2)由牛頓第二定律，有　③ 　　又可見星A的軌道半徑r1＝　④ 　　由②③④式解得．　⑤ 　　(3)將m1＝6ms 　　代入數據得＝3.5ms　⑥ 　　設m2＝nms(n＞0)，將其代入⑥式，得＝3.5ms　⑦ 　　可見，的值隨n的增大而增大，試令n＝2，得＝0.125ms＜3.5ms　⑧ 　　若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質量m2必大于2ms，由此得出結論：暗星B有可能是黑洞．