Question

18．如圖，若兩顆人造衛星a和b均繞地球做勻速圓周運單，且a、b在運動過程中僅受地球萬有引力的作用，a、b繞地球運動的線速度大小分別為v₁、v₂，周期分別為T₁、T₂，則（　　）

• A． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{\frac{1}{3}}$
• B． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$
• C． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$
• D． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）³

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，以及開普勒第三定律列式求解即可．

解答 解：根據萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
a、b到地心O的距離分別為r₁、r₂，
所以有：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$…①，
根據開普勒第三定律得：
$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$…②
由①②解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{\frac{1}{3}}$，故A正確．
故選：A

點評 本題關鍵是要掌握萬有引力提供向心力這個關系，能夠根據題意選擇恰當的向心力的表達式，難度適中．