Question

如圖所示，以O為原點建立平面直角坐標系Oxy，沿y軸放置一平面熒光屏，在y＞0，0＜x＜0.5m的區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁場的磁感應強度大小B=0.5T．在原點O放一個開有小孔粒子源，粒子源能同時放出比荷為q/m=4.0×10⁶kg/C的不同速率的正離子束，沿與x軸成30°角從小孔射入磁場，最后打在熒光屏上，使熒光屏發亮．入射正離子束的速率在0到最大值v_m=2.0×10⁶m/s的范圍內，不計離子之間的相互作用，也不計離子的重力．
（1）求離子打到熒光屏上的范圍．
（2）若在某時刻（設為t=0時刻）沿與x軸成30°角方向射入各種速率的正離子，求經過

5π

3

×10-7s時這些離子所在位置構成的曲線方程．
（3）實際上，從O點射入的正離子束有一定的寬度，設正離子將在與x軸成30°～60°角內進入磁場．則某時刻（設為t=0時刻）在這一寬度內向各個方向射入各種速率的離子，求經過

5π

3

×10-7s時這些離子可能出現的區域面積．

Answer 1

（1）由qvB=

mv2

r

得，r=

mv

qB

，rm=

mvm

qB

=1m




離子在磁場中運動最大軌道半徑：r_m=1m
由幾何關系知，最大速度的離子剛好沿磁場邊緣打在熒光屏上，如左圖所示．
所以OA₁長度為：y=2rcos300=

3

m
即離子打到熒光屏上的范圍為：[0，

3

m]
（2）離子在磁場中運動的周期為：T=

2πm

qB

=π×10-6s
由題，經過時間：t=

5π

3

×10-7s，則
離子轉過的圓心角為  φ=

2π

T

t=

π

3

設

5π

3

×10-7s這個時刻某離子的位置坐標為（x，y），則有
   y=rcos30°
   x=r-rsin30°
所以解得：y=

3

x就是所求的曲線方程．
（3）由幾何關系知，與x軸成60°方向入射的離子，經過時間：t=

5π

3

×10-7s時離子轉過的圓心角為φ=

2π

T

t=

π

3

剛好打在y軸上，將t=

5π

3

×10-7s時刻這些離子所在坐標連成曲線，方程就是：x=0即都打在y軸上，所以在t=0時刻與x軸成30°～60°內進入磁場的正離子在t=

5π

3

×10-7s時刻全部出現在以O為圓心的扇形OA₂C₁范圍內．如圖 
則離子可能出現的區域面積：S=

πrm2

12

=

π

12

m2≈0.26m2
答：
（1）離子打到熒光屏上的范圍為[0，

3

m]．
（2）經過

5π

3

×10-7s時這些離子所在位置構成的曲線方程是y=

3

x．
（3）經過

5π

3

×10-7s時這些離子可能出現的區域面積為0.26m²．