Question

5．如圖（甲）所示為電視機中顯像管的原理示意圖，電子槍中的燈絲加熱陰極而逸出電子，這些電子再經加速電場加速后，從O點進入偏轉磁場中，經過偏轉磁場后打到熒光屏MN上，使熒光屏發出熒光形成圖象，不計逸出電子的初速度和重力．已知電子的質量為m、電荷量為e，加速電場的電壓為U．偏轉線圈產生的磁場場分布在邊長為l的正方形abcd區域內，磁場方向垂直紙面，且磁感應強度隨時間的變化規律如圖乙所示．在每個周期內磁感應強度都是從-B₀均勻變化到B₀．磁場區域的左邊界的中點與O點重合，ab邊與OO′平行，右邊 界bc與熒光屏之間的距離為s．由于磁場區域較小，且電子運動的速度很大，所以在每個電子通過磁場區域的過程中，可認為磁感應強度不變，即為勻強磁場，不計電子之間的相互作用．

（1）求電子射出電場時的速度大小．
（2）為使所有的電子都能從磁場的bc邊射出，求偏轉線圈產生磁場的磁感應強度的最大值．
（3）熒光屏上亮線的最大長度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出電子射出加速電場時的速度大小；
（2）根據幾何關系求出臨界狀態下的半徑的大小，結合洛倫茲力提供向心力求出磁感應強度的最大值．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，出磁場做勻速直線運動，通過最大的偏轉角，結合幾何關系求出熒光屏上亮線的最大長度．

解答 解：（1）設電子射出電場的速度為v，則根據動能定理，對電子的加速過程有$\frac{1}{2}m{v^2}=eU$
解得$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
（2）當磁感應強度為B₀或-B₀時（垂直于紙面向外為正方向），
電子剛好從b點或c點射出，設此時圓周的半徑為R₁．
如圖所示，根據幾何關系有：R²=l²+（R-$\frac{l}{2}$）²
解得R=$\frac{5}{4}L$
電子在磁場中運動，洛侖茲力提供向心力，因此有：$ev{B_0}=m\frac{v^2}{R}$，
解得${B_0}=\frac{4}{5l}\sqrt{\frac{2mU}{e}}$
（3）電子從偏轉磁場射出后做勻速直線運動，當它恰好從b點射出時，對應屏幕上的亮點離O′最遠．
根據幾何關系可知，$tanα=\frac{4}{3}$
設電子打在熒光屏上離O′點的最大距離為d，
則$d=\frac{l}{2}+s•tanα=\frac{l}{2}+\frac{4}{3}s$
由于偏轉磁場的方向隨時間變化，根據對稱性可知，熒光屏上的亮線最大長度為$D=2d=l+\frac{8}{3}s$
答：（1）電子射出電場時的速度大小為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$．
（2）為使所有的電子都能從磁場的bc邊射出，偏轉線圈產生磁場的磁感應強度的最大值$\frac{5}{4}L$．
（3）熒光屏上亮線的最大長度是$\frac{l}{2}$+$\frac{4}{3}$s．

點評 本題考查電子受電場力做功和帶電粒子在磁場中的運動規律； 要注意在電場中應用動能定理；而電子在磁場中，做勻速圓周運動，運用牛頓第二定律求出半徑表達式；同時運用幾何關系來確定半徑與已知長度的關系．