Question

2．如圖所示，光滑半球的半徑為R，球心為O，固定在水平面上，其上方有一個光滑曲面軌道AB，高度為$\frac{R}{2}$．軌道底端水平并與半球頂端相切．質量為m的小球由A點靜止滑下．小球在水平面上的落點為C（重力加速度為g），則（　　）

• A． 將沿半球表面做一段圓周運動后拋至C點
• B． 小球將從B點開始做平拋運動到達C點
• C． OC之間的距離為$\sqrt{2}$ R
• D． 小球從A運動到C的時間等于（1+$\sqrt{2}$ ）$\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 從A到B的過程中，根據機械能守恒可以求得到達B點時的速度，根據圓周運動的向心力公式可以判斷離開B點后的運動情況；分析兩過程的運動情況，從而明確運動時間的計算．

解答 解：A、從A到B的過程中，根據機械能守恒可，mg$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}$mV²，解得V=$\sqrt{gR}$，
在B點，當重力恰好作為向心力時，由mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得V_B=$\sqrt{gR}$，
所以當小球到達B點時，重力恰好作為向心力，所以小球將從B點開始做平拋運動到達C，所以A錯誤，B正確．
C、根據平拋運動的規律，
水平方向上：x=V_Bt    
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}$gt²      
解得x=$\sqrt{2}$R，t=$\frac{\sqrt{2R}}{g}$； 所以C正確，
D、由A到C過程時物體先做變速曲線運動，再做平拋運動，平拋運動的時間t=$\frac{\sqrt{2R}}{g}$； 根據給出的答案可知，求出的曲線運動時間t₁=（1+$\sqrt{2}$ ）$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{\sqrt{2R}}{g}$=$\frac{\sqrt{R}}{g}$，很明顯是利用了$\frac{R}{2}$除以$\frac{{v}_{B}}{2}$，而實際情況是物體沿圓弧運動，經過的路程不是$\frac{R}{2}$，同時平均速度也不是$\frac{{v}_{B}}{2}$，所以求出的結果一定是錯誤的，故D錯誤．
故選：BC．

點評 本題的關鍵地方是判斷小球在離開B點后的運動情況，根據小球在B點時速度的大小，小球的重力恰好作為圓周運動的向心力，所以離開B后將做平拋運動．再分別根據相應的規律求解即可．