Question

神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律.天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX－3雙星系統，如圖所示，它由可見星A和不可見的暗星B構成.兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星 A的速率 v和運行周期 T.

(1)可見星A所受暗星 B的引力 F_A 可等效為位于 O點處質量為m′的星體(視為質點)對它的引力，設A和B的質量分別為 m₁、m₂，試求m′. (用m₁、m₂ 表示)

(2)求暗星B的質量m₂ 與可見星A的速率v、運行周期T和質量m₁ 之間的關系式.

(3)恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量m_s 的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，運行周期T＝4.7π×10⁴ s，質量m₁＝6m_s，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？ (G＝6.67×10^－11  N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg)[2006年高考·天津理綜卷]

Answer 1

解析：(1)設 A、B的圓軌道半徑分別為 r₁、 r₂ ，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為ω.由牛頓運動定律，有：

F_A＝m₁ ω²r₁

F_B＝m₂ω²r₂

F_A＝F_B

設A、B之間的距離為r，又r＝r₁＋r₂，由上述各式得：

r＝r₁

由萬有引力定律，有：

F_A＝G

聯立解得：F_A＝G

令F_A＝G

比較可得：m′＝.

　　(2)由牛頓第二定律，有：

 G＝m₁

可見星A的軌道半徑r₁＝

將m′代入，可解得：＝.

(3)將m₁＝6m_s代入上式，得：

＝

代入數據得：＝3.5m_s

設m₂＝nm_s(n>0)，可得：

＝m_s＝3.5m_s

可見，的值隨n的增大而增大，試令n＝2，得：

m_s＝0.125m_s<3.5m_s

故n必大于2，即暗星B的質量m₂必大于2m_s.由此得出結論：暗星B有可能是黑洞.

　　答案：(1)　(2)＝

(3)有可能