Question

9．如圖所示，半徑為R=2cm的光滑半圓弧軌道與高為H=20cm的光滑斜軌道放在同一豎直平面內，兩軌道之間由一條光滑水平軌道CD相連，水平軌道與斜軌道間有一段圓弧過渡．在水平軌道上，輕質彈簧被a、b兩小球擠壓，處于靜止狀態．先后釋放兩個小球，a球恰好能通過圓弧軌道的最高點A，b球恰好能到達斜軌道的最高點B．已知a球質量為m₁=2kg，b球質量為m₂=3kg，重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）a球離開彈簧時的速度大小v_a；
（2）b球離開彈簧時的速度大小v_b；
（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）小球a恰好能通過最高點，由重力充當向心力，由向心力公式可得出小球a在A點的速度，由機械能守恒可得出a球離開彈簧時的速度大小v_a；
（2）對b球由機械能守恒可得出小球b的速度；
（3）對系統，由機械能守恒可得出彈簧的彈性勢能．

解答 解：（1）由a球恰好能到達A點，則有：
m₁g=m₁$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₁v${\;}_{a}^{2}$-$\frac{1}{2}$m₁v${\;}_{A}^{2}$=m₁g×2R
得：v_a=$\sqrt{5gR}$=1m/s
（2）對于b球，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₂v${\;}_{b}^{2}$=m₂g×H
得：v_b=2m/s
（3）對于系統，由機械能守恒定律得：
E_p=$\frac{1}{2}$m₁v${\;}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂v${\;}_{b}^{2}$
代入數據得E：_p=7J
答：（1）a球離開彈簧時的速度大小v_a是1m/s．
（2）b球離開彈簧時的速度大小v_b是2m/s．
（3）釋放小球前彈簧的彈性勢能E_p是7J．

點評 解決本題的關鍵：一要明確小球到達圓軌道最高點的臨界條件：重力充當向心力．二要明確沒有摩擦時往往運用機械能守恒求解速度．