Question

如圖所示，在傾角為θ的足夠長的斜面上，有一質(zhì)量為M的長木板．開始時，長木板上有一質(zhì)量為m的小鐵塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以相對地面的初速度v從長木板的中點(diǎn)沿長木板向下滑動，同時長木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v的勻速運(yùn)動（已知v＞v），小鐵塊最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動．已知小鐵塊與木板、木板與斜面間的動摩擦因數(shù)均為μ（μ＞tanθ），試求：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度大小和方向？
（2）長木板至少要有多長？
（3）小鐵塊從中點(diǎn)開始運(yùn)動到最終勻速運(yùn)動的過程中拉力做了多少功？

Answer 1

【答案】分析：（1）小鐵塊在長木板上滑動時受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終跟長木板一起向上做勻速運(yùn)動．由于鐵塊變速運(yùn)動過程的加速度一定，看成一種勻減速運(yùn)動，取沿斜面向上方向?yàn)檎�方向，此過程的初速度為-v，末速度為v，由速度公式可求出時間．由位移公式分別此段時間內(nèi)小鐵塊的位移s₁和木板的位移s₂，由幾何關(guān)系得，長木板的長度應(yīng)滿足：s₁+s₂，即可求解長木板的最小的長度L．
（3）長木板始終沿斜面向上做勻速運(yùn)動，由平衡條件求出拉力F，再求解其做功．
解答：解：（1）小鐵塊在長木板上滑動時受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑動摩擦力作用，設(shè)小鐵塊的加速度大小為a，對小鐵塊受力分析有（取沿斜面向上為正）：
  μmgcosθ-mgsinθ=ma                           
得 a=g（μcosθ-sinθ）                                   
因?yàn)棣蹋総anθ，所以小鐵塊與木板有相對滑動時的加速度沿斜面向上．
（2）小鐵塊先沿斜面向下勻減速至速度為零再沿斜面向上勻加速，最終獲得穩(wěn)定速度v，設(shè)t后小鐵塊達(dá)到穩(wěn)定速度，則
  v-（-v）=at
得 t=                      
設(shè)此段時間內(nèi)小鐵塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，有：
     方向沿斜面向下（式中v＞v）          
s₂=vt 方向沿斜面向上                   
∵s₁+s₂                              
∴L≥2（s₁+s₂）=          
（3）對木板M受力分析知拉力為恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ  
則由W=Fs₂=Fvt得：
W=（v+v）v=
答：
（1）小鐵塊在長木板上滑動時的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）長木板至少長．
（3）小鐵塊從中點(diǎn)開始運(yùn)動到最終勻速運(yùn)動的過程中拉力做功為．
點(diǎn)評：本題是兩個物體多個過程的問題，分析物體的運(yùn)動過程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵．