Question

如圖所示，虛線OL與y軸的夾角為θ=60°，在此角范圍內有垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q（q＞0）的粒子從左側平行于x軸射入磁場，入射點為M．粒子在磁場中運動的軌道半徑為R．粒子離開磁場后的運動軌跡與x軸交于P點（圖中未畫出），且

.

OD

=R．不計重力．求M點到O點的距離和粒子在磁場中運動的時間．

Answer 1

根據題意，粒子進入磁場后做勻速圓周運動，設運動軌跡交虛線OL于A點，圓心在y軸上的C點，AC與y軸的夾角為α；粒子從A點射出后，運動軌跡交x軸的P點，設AP與x軸的夾角為β，如右圖所示
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

    ①
周期為T=

2πR

v

=

2πm

qB

       ②
過A點作x、y軸的垂線，垂足分別為B、D．
由幾何知識得

.

AD

=Rsinα，

.

OD

=

.

AD

cot60°，

.

BP

=

.

OD

cotβ，

.

OP

=

.

AD

+

.

BP

，α=β     ③
聯立得到 sinα+

1

3

cosα=1
解得 α=30°，或α=90°
設M點到O點的距離為h，有 

.

AD

=Rsinα    h=R-

.

OC

，

.

OC

=

.

CD

-

.

OD

=Rcosα-

3

3

.

AD

聯立得到 h=R-

2

3

Rcos(α+30°)（1分）
解得 h=(1-

3

3

)R（α=30°）   或  h=(1+

3

3

)R（α=90°）   
當α=30°時，粒子在磁場中運動的時間為t=

T

12

=

πm

6qB

當α=90°時，粒子在磁場中運動的時間為t=

T

4

=

πm

2qB

答：M點到O點的距離h=(1-

3

3

)R或h=(1+

3

3

)R；粒子在磁場中運動的時間為

πm

6qB

或

πm

2qB

．