Question

“神舟七號”飛船完成了預定空間科學和技術實驗任務后，返回艙于2008年9月28日17時37分開始從太空向地球表面按預定軌道返回，在離地10km　的高度打開阻力降落傘減速下降，這一過程中若返回艙所受阻力與速度的平方成正比，比例系數（空氣阻力系數）為k．設返回艙總質量M=3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認為豎直降落．從某時刻開始計時．返回艙的運動v--t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點的切線，切線交于橫軸一點B的坐標為（8，0），CD是平行橫軸的直線，交縱軸于C點，c的坐標為（0，8）．g取10m/s²，請回答下列問題：
（1）在初始時刻v₀=160m/s時，它的加速度多大？
（2）推證空氣阻力系數的表達式并算出其數值．
（3）返回艙在距離地面高度h=1m時，飛船底部的4個反推力小火箭點 火工作，使其速度由8m/s迅速減至1m/s后落在地面上，若忽略燃料質量的減少對返回艙總質量的影響，并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力．（計算結果取兩位有效數字）

Answer 1

解：（1）由v-t圖象性質可以得，在初始v₀=160m/s時，過A點切線的斜率為此時的加速度，設為a₁，其大小為：=
（2）由圖知，返回艙的速度變化率逐漸減小，最有是以v₁=8m/s的速度做勻速運動，設返回艙受空氣浮力為f
在t=0時，由牛頓第二定律：

速度為v₁=8m/s時，返回艙受力平衡，有

由以上兩式解得：
k=
帶入數據得：
k=2.35kg/m
（3）設每只小火箭的平均推力為F₀，反推加速度為a₂，著地速度為v₂，由題意知，返回艙在距離地面高度h=1m前，已經處于勻速運動狀態，故返回艙在著地前的加速度由4個小火箭的反推力產生，根據牛頓第二定律有：
4F₀-Mg=Ma₂
又由運動學公式：

由以上兩式解得：

帶入數據解得：
F₀=24375N
保留兩位有效數字得：
F₀=2.4×10⁴N
答：
（1）在初始時刻速度為160m/s時，它的加速度為20m/s²
（2）推證空氣阻力系數的表達式為k=，數值k=2.35kg/m
（3）每支小火箭的平均推力為2.4×10⁴N
分析：（1）由v-t圖象切線的斜率為此時的加速度，可以得到v₀=160m/s時，它的加速度
（2）在v-t圖象選取兩個點，t=0時，列牛頓第二定律，和v=8m/s時，由于是勻速階段，故列平衡方程，兩式聯立可以解得k的表達式和數值
（3）此階段是在火箭反推力下做的勻減速直線運動，故可以由此求得加速度表達式，再由運動學可以解得推力．
點評：本題的關鍵點就是對v-t圖象的識別和應用，這類題目需要特別注意的是特殊點，即速度和時間都有明確數值的點，另應注意起點，終點，交點，斜率四個知識點．