Question

17．在四川汶川的抗震救災中，我國自主研制的“北斗一號”衛星導航系統，在抗震救災中發揮了巨大作用．北斗導航系統又被稱為“雙星定位系統”，具有導航、定位等功能．“北斗”系統中兩顆工作星均繞地心O做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻2顆工作衛星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛星均順時針運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半 徑為R，不計衛星間的相互作用力．則以下判斷中正確的是（　　）

• A． 這2顆衛星的加速度大小相等，均為$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$
• B． 這2顆衛星所受到的引力大小相等
• C． 衛星1向后噴氣就一定能追上衛星2
• D． 衛星1由位置A運動到位置B所需的時間為$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$

Answer 1

分析 根據人造衛星的萬有引力等于向心力，在地面上，萬有引力等于重力，列式比較加速度的關系，并得到周期表達式，由t=$\frac{θ}{2π}$T求衛星1由位置A運動到位置B所需的時間；衛星1向后噴氣時，加速將做離心運動．

解答 解：A、對于在軌衛星，有G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=ma，①
      在地面上，有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg ②
聯立得：衛星的加速度為a=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}g$，故知兩衛星的加速度大小相等，均為$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}g$，故A正確．
B、根據萬有引力公式可知$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，由于不知道了兩顆衛星的質量關系，所以無法判斷萬有引力大小．故B錯誤．
C、衛星1向后噴氣時加速，所需要的向心力增大，而萬有引力沒變，衛星1將做離心運動，不可能追上衛星2，故C錯誤．
D、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$ ③，由②③得T=$\frac{2r}{R}\sqrt{\frac{r}{R}}$，則衛星1由位置A運動到位置B所需的時間為t=$\frac{60°}{360°}$T=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{R}}$．故D正確．
故選：AD

點評 本題關鍵是抓住萬有引力提供向心力，以及重力加速度的表達式，先列式求解出線速度、周期的表達式，再進行討論．