Question

3．如圖所示，兩個$\frac{1}{4}$圓弧軌道豎直固定，相切于最低點P，圓O₁的半徑為R，圓O₂的半徑為2R，圓心O₁、圓心O₂與P點在同一豎直線上，從A，B兩點以不同的速率水平拋出甲、乙兩個相同的小球，兩球恰好在P點相遇，兩球均可視為質點，空氣阻力不墳，重力加速度為g，下列說法正確的是（　　）

• A． 兩球做平拋運動的時間之差為$\sqrt{\frac{R}{2g}}$
• B． 乙球水平拋出的速率是甲球水平拋出的速率的$\sqrt{2}$倍
• C． 兩球落在P點時的速度與豎直方向的夾角相同
• D． 乙球到達P點時的動能是甲球到達P點時的動能的2倍

Answer 1

分析 兩球做平拋運動，由高度求出時間，再得到時間差．由水平分運動的規律求出初速度關系．由速度關系求速度與豎直方向的夾角．由速度的合成求到達P的速度，從而得到動能．

解答 解：A、兩球做平拋運動的時間之差為△t=$\sqrt{\frac{2•2R}{g}}$-$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故A錯誤．
B、甲球的初速度 v₁=$\frac{R}{\sqrt{\frac{2R}{g}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，乙球的初速度 v₂=$\frac{2R}{\sqrt{\frac{2•2R}{g}}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{2}$v₁，故B正確．
C、甲落在P點時的速度與豎直方向的夾角正切 tanα₁=$\frac{{v}_{y1}}{{v}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{\frac{1}{2}gR}}$=2，乙落在P點時的速度與豎直方向的夾角正切 tanα₂=$\frac{{v}_{y2}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2g•2R}}{\sqrt{gR}}$=2，故兩球落在P點時的速度與豎直方向的夾角相同．故C正確．
D、乙球到達P點時的速度大小 v_乙=$\sqrt{{v}_{2}^{2}+2g•2R}$=$\sqrt{5gR}$
甲球到達P點時的速度大小 v_甲=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+2gR}$=$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$，所以v_乙=$\sqrt{2}$v_甲，則乙球到達P點時的動能是甲球到達P點時的動能的2倍，故D正確．
故選：BCD

點評 本題要分析清楚小球的運動過程，熟練運用運動的分解法研究平拋運動，根據分運動的規律以及運動的合成與分解法研究．