Question

9．已知下列數據：
①地面附近物體的重力加速度g；
②地球半徑R；
③月球與地球兩球心間的距離r；
④地球的第一宇宙速度v；
⑤月球繞地球做圓周運動的周期T1；
⑥地球繞太陽做圓周運動的周期T₂；
⑦萬有引力常量G．
不考慮地球自轉的影響，請你選擇適當的數據計算地球的密度ρ．（要求給出兩種方法）

Answer 1

分析 方法一：根據地球表面重力加速度和地球半徑，求出地球質量，再根據密度公式求地球密度；
方法二：根據地球的第一宇宙速度和地球半徑求出地球質量，再根據密度公式求地球密度；
方法三：根據月球繞地球做勻速圓周運動的周期及月球與地球間的距離求出地球質量，再根據密度公式求地球密度

解答 解：方法一：根據萬有引力定律，在地球表面附近有萬有引力等于重力$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
則密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
方法二：在地球表面附近，物體繞地球運動可近似看做是勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
而密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
得$ρ=\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$
方法三：月球繞地球運動可近似看做是勻速圓周運動，根據萬有引力定律$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}r$
則密度$ρ=\frac{{M}_{地}^{\;}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{M}_{地}^{\;}}{4π{R}_{\;}^{3}}$
解得：$ρ=\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
答：地球的密度可表示為$\frac{3g}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3{v}_{\;}^{2}}{4πG{R}_{\;}^{2}}$或$\frac{3π{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

點評 本題抓住在地球附近重力與萬有引力相等，繞地球運動的天體向心力由萬有引力提供依次列式計算求中心天體的質量．掌握規律是解題關鍵．