Question

9．如圖所示，質量為m的小環在半徑為R的粗糙大圓環上，θ角已知，大圓環在水平面內以勻角速度ω繞其上一點O轉動，小環相對大圓環靜止．試求：
（1）在水平面內小環所受大圓環的作用力．
（2）如果小環與大圓環間的靜摩擦因數為μ，要保持相對靜止，小環在大圓環上的位置應在哪一范圍內？

Answer 1

分析 （1）根據幾何關系求出小圓環做圓周運動的半徑，根據合力通過向心力，結合合力的大小以及轉動半徑的大小求出小環所受大圓環的作用力．
（2）小環與大圓環間的靜摩擦因數為μ，小環在大圓環上恰好要滑動時，結合臨界條件與牛頓第二定律即可求出位置

解答 解：（1）在以角速度ω勻速轉動的坐標系xoy中，小環除重力和與重力平衡的力外，受3個力的作用：大圓環彈力${F}_{N}^{\;}$和靜摩擦力${F}_{f}^{\;}$慣性離心力${f}_{慣離}^{\;}$，此3力的合力為零
${F}_{N}^{\;}={f}_{慣離}^{\;}cosφ$，
${F}_{f}^{\;}={f}_{慣離}^{\;}sinφ$
由于φ=$\frac{θ}{2}$，r=2Rcosφ
所以${F}_{N}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ）$，${F}_{f}^{\;}=m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ$
所以小環所受大圓環的作用力$F=\sqrt{{F}_{N}^{2}+{F}_{f}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$
（2）${F}_{f}^{\;}$的最大值${F}_{fm}^{\;}=μ{F}_{N}^{\;}$，對應的θ最大值為θ′
$m{ω}_{\;}^{2}Rsinθ′=μm{ω}_{\;}^{2}R（1+cosθ′）$
所以θ′=2arctanμ
小環位置在與x軸夾角為+θ′和-θ′之間的范圍內
答：（1）在水平面內小環所受大圓環的作用力為$m{ω}_{\;}^{2}R\sqrt{si{n}_{\;}^{2}θ+（1+cosθ）_{\;}^{2}}$．
（2）如果小環與大圓環間的靜摩擦因數為μ，要保持相對靜止，小環在大圓環上的位置小環位置在與x軸夾角為+θ′和-θ′之間的范圍內（其中θ′=2arctanμ）

點評 本題考查了牛頓運動定律和向心力公式等知識點，解決本題的關鍵是分析小圓環的受力情況，畫好受力分析圖，有一定難度．