Question

11．第22屆冬季奧林匹克運動會于2014年02月07日～02月23日在俄羅斯聯邦索契市舉行，中國選手徐夢桃獲得自由式滑雪女子空中技巧銀牌．假設滑雪者的速度超過4m/s時，滑雪板與雪地間的動摩擦因數就會由μ₁=0.25變為μ₂=0.125．一滑雪者從傾角為θ=37°的坡頂A由靜止開始自由下滑，滑至坡底B（B處為一光滑小圓弧）后又滑上一段水平雪地，最后停在C處，如圖所示．不計空氣阻力，坡長為L=26m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發生變化經歷的位移；
（2）滑動者在水平雪地上運動的距離．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v₁=4m/s期間的加速度，再根據位移時間公式求出運動的位移．
（2）再根據牛頓第二定律求出速度大于4m/s時的加速度，球心速度為4m/s之前的位移，從而得出加速度變化后的位移，根據勻變速直線運動的速度位移公式求出滑雪者到達B處的速度．根據動能定理分別求出在水平面上速度減為4m/s之前的位移和速度由4m/s減小到零的位移，兩個位移之和為滑行的最大距離．

解答 解：（1）設滑雪者質量為m，滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度v₁=4m/s期間，
由牛頓第二定律有：mgsin37°-μ₁mgcos37°=ma₁
解得：a₁=4m/s²
設滑雪者由靜止加速至4m/s期間的位移為x₁，故由靜止開始到動摩擦因數發生變化所經歷的位移：
${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{4}^{2}}{2×4}=2$m
（2）隨后滑雪者的加速度為a₂，滑到B出的位移為x₂，根據牛頓定律：
mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂
則：x₂=L-x₁=24m
  ${{v}_{B}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$
代入數據解得：v_B=16m/s
設滑雪者速度由v_B=16m/s減速到v₁=4m/s期間運動的位移為x₃，速度由v₁=4m/s減速到零期間運動的位移為x₄，
則由動能定理有：$-{μ}_{2}mg{x}_{3}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
$-μmgμ{x}_{4}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
帶入數據解得：x₃=96m  x₄=3.2m
所以滑雪者在水平雪地上運動的最大距離為：x=x₃+x₄=99.2m．
答：（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發生變化經歷的位移是2m．
（2）滑雪者在水平雪地上運動的最大距離為99.2m．

點評 本題綜合運用了牛頓第二定律、動能定理等規律，關鍵理清滑雪者的運動過程，正確地受力分析，運用牛頓定律或動能定理解題．