Question

4．如圖所示，光滑水平面上有帶有$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道的滑塊，其質量為2m，一質量為m的小球以速度v_o沿水平面滑上軌道，到達滑塊最高點時，二者速度相同．求：
（1）兩者的共同速度；
（2）該過程中小球的機械能損失；
（3）該過程中系統損失的機械能．

Answer 1

分析 （1）小球在軌道上滑行的過程中，小球和滑塊系統在水平方向上不受外力，水平方向動量守恒，當小球到達軌道最高點時出時，小球與滑塊速度相同，根據動量守恒列方程求解共同速度．
（2）該過程中小球的機械能損失由初末機械能之差．
（3）根據能量守恒定律求系統機械能的損失．

解答 解：（1）小球與滑塊組成的系統在水平方向上不受外力，水平方向動量守恒，當小球到達滑塊最高點時，豎直速度為零，所以小球與滑塊有相同的水平速度，設為v．以小球與滑塊組成的系統為研究對象，系統水平方向動量守恒，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得：
   mv₀=（2m+m）v
解得：v=$\frac{1}{3}$v₀．
（2）取水平面為零勢能面，小球的初動能為：E_K1=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，重力勢能為：E_P1=0．末狀態的動能為：E_K2=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{18}m{v}_{0}^{2}$，小球的重力勢能為：E_P2=mgR
所以小球損失的機械能為；△E=E_K1+E_P1-E_K2-E_P2=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+0-$\frac{1}{18}m{v}_{0}^{2}$-mgR=$\frac{4}{9}m{v}_{0}^{2}$-mgR
（3）由于各個接觸面光滑，系統沒有機械能損失，即系統損失的機械能為零．
答：
（1）兩者的共同速度是$\frac{1}{3}$v₀；
（2）該過程中小球的機械能損失是$\frac{4}{9}m{v}_{0}^{2}$-mgR；
（3）該過程中系統損失的機械能是零．

點評 本題是系統水平方向動量守恒的問題，容易出錯的地方是認為小球上升到最高點時，滑塊的速度最大，要注意分析過程，計算機械能時注意選取零勢能面．