Question

土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動。其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為r_A＝8.0×10⁴ km和r_B＝1.2×10⁵ km。忽略所有巖石顆粒間的相互作用。（結果可用根式表示）
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比；
（2）求巖石顆粒A和B的周期之比；
（3）土星探測器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵ km處受到土星的引力為0.38 N。已知地球半徑為6.4×10³ km，請估算土星質量是地球質量的多少倍？

Answer 1

解：（1）設土星質量為M₀，顆粒質量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，根據牛頓第二定律和萬有引力定律：
解得：
對于A、B兩顆粒分別有：和
得：
（2）設顆粒繞土星作圓周運動的周期為T，則：
對于A、B兩顆粒分別有：和
得：
（3）設地球質量為M，地球半徑為r₀，地球上物體的重力可視為萬有引力，探測器上物體質量為m₀，在地球表面重力為G₀，距土星中心r₀'＝3.2×10⁵ km處的引力為G₀'，根據萬有引力定律：
，
解得：