Question

1．太陽糸各行星可近似看成在同一平面內沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動．設天王星公轉周期為T₁，公轉半徑為R₁；地球公轉周期為T₂，公轉半徑為R₂，且知道R₁＞R₂．不計兩行星之間的引力作用，萬有引力常量為G．下列說法正確的是（　　）

• A． 太陽的質量為$\frac{4{π}^{2}{R}_{1}^{2}}{G{T}_{2}^{2}}$
• B． 天王星公轉速度大于地球公轉速度
• C． 天王星公轉速度與地球公轉速度之比為$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
• D． 天王星公轉的向心加速度與地球公轉的向心加速度之比為$\frac{{R}_{1}^{2}}{{R}_{2}^{2}}$

Answer 1

分析 根據萬有引力提供向心力，結合天王星的軌道半徑和周期求出太陽的質量．根據萬有引力提供向心力，求出線速度、向心加速度與軌道半徑的關系式，從而分析判斷．

解答 解：A、天王星繞太陽做圓周運動，根據萬有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，解得太陽的質量M=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，故A錯誤．
B、天王星的軌道半徑大于地球的軌道半徑，根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，則天王星的公轉速度小于地球的公轉速度，故B錯誤．
C、根據v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$知，天王星和地球的公轉半徑之比為R₁：R₂，則公轉速度之比為$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$，故C正確．
D、根據$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$知，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，天王星和地球的公轉半徑之比為R₁：R₂，則天王星公轉的向心加速度與地球公轉的向心加速度之比為$\frac{{{R}_{2}}^{2}}{{{R}_{1}}^{2}}$，故D錯誤．
故選：C．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，知道線速度、角速度、加速度、周期與軌道半徑的關系，基礎題．