Question

9．我國探月工程已規劃至嫦娥四號，并計劃在2017年將嫦娥四號探月衛星發射升空，到時將實現在月球上自動巡視機器人勘測．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球半徑為R₁，月球半徑為R₂，若嫦娥四號探月衛星在地球表面的重力大小為G₁，在月球表面的重力大小為G₂，求：
（1）月球的質量與地球的質量之比；
（2）嫦娥四號在近月球表面軌道上做勻速圓周運動的周期；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 （1）根據重力等于萬有引力即可分別求出地球和月球的質量；
（2）由萬有引力提供向心力即可求出周期；
（3）根據重力提供向心力即可分別求出兩種第一宇宙速度；

解答 解：（1）設衛星的質量為m，G表示萬有引力常量，在地球表面：$mg=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{1}^{2}}$   ①
所以：M_地=$\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}$  ②
在地球表面：mg=G₁    ③
在月球表面：mg_月=G₂  ④
聯立③④得：${g}_{月}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}•g$   ⑤
設月球質量為${M}_{月}^{\;}$，根據重力等于萬有引力：$m{g}_{月}=\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{2}^{2}}$  ⑥
解得：${M}_{月}=\frac{{g}_{月}{R}_{2}^{2}}{G}$=$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}g}{{G}_{1}G}$   ⑦
聯立得：$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$
（2）根據月球表面重力提供向心力，有：$m{g}_{月}=\frac{m•4{π}^{2}{R}_{2}}{{T}^{2}}$  ⑧
所以：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}}{{g}_{月}}}$=$2π\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{{G}_{2}g}}$
（3）根據地球表面重力提供向心力，有：$mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$⑨
所以：${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{1}}$
根據月球表面重力提供向心力，有：$m{g}_{月}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
所以：${v}_{2}=\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}•g{R}_{2}}$
所以：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$
答：（1）月球的質量與地球的質量之比是$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$；
（2）嫦娥四號在近月球表面軌道上做勻速圓周運動的周期$2π\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{{G}_{2}g}}$；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比是$\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．