Question

（10分）某球形天體的密度為ρ₀，引力常量為G．
（1）證明對環繞密度相同的球形天體表面運行的衛星，運動周期與天體的大小無關．（球的體積公式為，其中R為球半徑）
2）若球形天體的半徑為R，自轉的角速度為，表面周圍空間充滿厚度（小于同步衛星距天體表面的高度）、密度ρ=的均勻介質，試求同步衛星距天體表面的高度．

Answer 1

（1）見解析 （2）R

試題分析：（1）設環繞其表面運行衛星的質量為m，運動周期為T，球形天體半徑為R，天體質量為M，由牛頓第二定律有                
                 ①     （2分）
而                              ②    （1分）
由①②式解得 ，可見T與R無關，為一常量．   （1分）
（2）設該天體的同步衛星距天體中心的距離為r，同步衛星的的質量為m₀，則有
                        ③     （2分）
而                       ④ （2分）
由②③④式解得                                 （1分）
則該天體的同步衛星距表面的高度           （1分）
點評：中等難度。把天體運動當做勻速圓周運動，向心力來源于萬有引力，再根據問題的實際情況選用恰當的公式進行計算。