Question

如圖AB和CD是兩根特制的、完全相同的電阻絲，豎直地固定在地面上，上端用電阻不計的導線相接，兩電阻絲間距為L，有一根質量為m、電阻不計的金屬棒，跨在AC兩點間處于x軸原點，與電阻絲接觸良好且無摩擦，空間有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，放開金屬棒，它將加速下滑．求：
（1）電阻絲的電阻值應跟位移x的平方根成正比，即R=k

x

（k為一常數）試用假設法證明棒開始下落后是做勻加速運動．
（2）在棒做勻加速直線時若L=1m，B=1T，m=

1

5

kg，k=

1

5

Ωm

1

2

．則
①棒下落的加速度a
②棒下落1米位移過程式中電阻上的電功W．

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律與運動學公式，以及法拉第電磁感應定律來相結合，運用假設法證明可得；
（2）根據上題的證明結論，并結合法拉第電磁感應定律、歐姆定律與電量的表達式，最后通過能量守恒定律，從而能一一解決問題．

解答：解：（1）棒從靜止釋放后受重力而加速度下落，速度v增大，棒切割磁感線產生的電動勢E=BLv增大，但連入電路中的電阻長度也增大故電路中電阻增大，因而電路中的電流及安培力的變化不便簡單判定；
對棒下落中的任一時刻將有：mg-BL

BLv

2R

=ma
  即mg-BL

BL

2k x

=ma
①假設棒ab作勻速直線運動；則棒運動的加速度a=0，即mg=BL

BLv

2k x

，式中B、L、V、m、k均為定值，故位移x必定值；但由于是棒的向下勻速運動將使位移x=vt隨時間而變化：故三者矛盾而說明不可能羅勻速直線運動．
②假設棒作加速度增大的加速下落；由前知必有BL

BLv

2k x

減小，故棒的加速度最終將增大為a=g，此時必有BL

BLv

2k x

=0，由于B、L、x均不為0且k為常數，故有當棒的加速度a=g時棒的速度v=0；但由于棒運動中a，v同向，棒的速度將來斷增大；二者矛盾而說明棒不可能作加速度增大的加速直線運動．
③假設棒作加速度減小的加速下落：必有BL

BLv

2k x

增大，故棒的加速度最終將減小為a=0時，棒以mg=BL

BLv

2k x

得，v=

2kmg x

(BL)2

而勻速直線運動；但由于棒運動中x將來斷增大而使棒速度變化；故二者矛盾而說明棒不可能作加速度減小的加速直線運動．
④由此可見：導體棒必作勻加速直線下落．
（2）①將數據代入mg-BL

BLv

k2 x

=ma得
  a=10-

5v

2 x

…（A）；
再因棒勻加速運動故有v=

2ax

…（B）
將（B）式代入（A）有a=10-

5 2ax

2 x

=10-

5 2a

2

，
解之得棒的加速度為a=1.855m/s²；
②棒下落中電路中電阻相應增大，因而其消耗的電能應當從能量的轉化與守恒定律得出：
 

1

2

mv2=mgx-E_R
又 v²=2ax
則得E_R=mx（g-a）
故此過程中電阻上的電功為E_R=1×1×（10-1.855）=8.145J
答：（1）證明略．
（2）a、棒下落的加速度a是1.855m/s²；
b、棒下落1米位移過程式中電阻上的電功W是8.145J．

點評：本題考查了牛頓第二定律、法拉第電磁感應定律、運動學公式、歐姆定律、能量守恒定律等規律，屬于力電綜合題．