Question

（2010?海南）圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d．電壓為V；兩板之間有勻強磁場，磁感應強度大小為B₀，方向與金屬板面平行并垂直于紙面朝里．圖中右邊有一半徑為R、圓心為O的圓形區域內也存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里．一電荷量為q的正離子沿平行于全屬板面、垂直于磁場的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平行金屬板之間的區域，并沿直徑EF方向射入磁場區域，最后從圓形區城邊界上的G點射出．已知弧

FG

所對應的圓心角為θ，不計重力．求
（1）離子速度的大小；
（2）離子的質量．

Answer 1

分析：（1）對離子進行受力分析受到洛倫茲力和電場力作用，且二力平衡；結合勻強電場的場強與電勢差的關系式，可求出離子在電場中的運動速度．
（2）根據題意畫出離子在磁場中運動的軌跡草圖，充分利用幾何關系，結合離子在磁場中的運動半徑公式，即可求出離子的質量．

解答：解：
（1）由題設知，離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，將受到的向上的洛倫茲力和向下的電場力，由題意知二力平衡，有：
qvB₀=qE_0…①
式中，v是離子運動速度的大小．E₀是平行金屬板之間的勻強電場的強度，有：
E0=

V

d

…②
①②兩式聯立得：
v=

V

B0d

…③
（2）在圓形磁場區域，離子做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有：
qvB=m

v2

r

…④
式中，m和r分別是離子的質量和它做圓周運動的半徑．
由題設，離子從磁場邊界上的點G穿出，離子運動的圓周的圓心O'必在過E點垂直于EF的直線上，且在EG的垂直一平分線上（見圖）．
由幾何關系有：
r=Rtanα…⑤
式中，α是OO'與直徑EF的夾角，由幾何關系得：
2α+θ=π…⑥
聯立③④⑤⑥式得，離子的質量為：
m=

qBB0Rd

V

cot

θ

2

答：（1）離子速度的大小為

V

B0d

．
（2）離子的質量

qBB0Rd

V

cot

θ

2

．

點評：該題考查了帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中的運動，在混合場中要注意對離子的受力分析；在磁場中要掌握住軌道半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，半徑和偏轉角的幾何關系就比較明顯了．