Question

（2012?嘉定區一模）如圖所示，長直均勻光滑桿一端固定在光滑轉軸O處，在水平桿的另一端A下擺經過的軌跡上安裝光電門，用來測量A端的瞬時速度v_A．光電門測量位置和轉軸O的高度差記為h．有一質量m=1kg的小球套在光滑桿上．
（1）若桿的質量忽略不計．小球固定在桿的中點處，靜止釋放．請寫出光電門測量到的速度v_A與高度差h的關系式．
（2）若桿的質量忽略不計．小球沒有固定在桿上，僅套在桿的中點處．桿由靜止釋放后小球做自由落體運動，下落h后脫離桿，則小球脫離瞬間桿A端速度多大？
（3）實際情況下桿的質量M不能忽略，拿走小球后重復實驗，得到了如圖所示的v_A²與h關系圖線①．證明桿繞O點轉動的動能Ek=

1

6

MvA2．
（4）將小球固定在桿的中點后，得到v_A²與h關系圖線②．由①②兩線，（g=10m/s²）求桿的質量M．

Answer 1

分析：（1）只有重力做功，機械能守恒，根據守恒定律列式求解；
（2）小球做自由落體運動，可以得到桿的末位置與水平方向成60度角，只有重力做功，機械能守恒，根據守恒定律列式求解；
（3）對桿運用動能定理列式求解即可，考慮重心位置的變化；
（4）對桿和球整體運用動能定理列式即可，對應桿考慮重心位置的變化．

解答：解：（1）由機械能守恒定律得mg

h

2

=

1

2

m(

vA

2

)2
解得vA=2

gh

（2）由機械能守恒定律得mgh=

1

2

mv2
解得脫離時，小球速度v=

2gh

因為小球從中點處釋放，脫離時桿與水平方向夾角60°，將小球的速度沿著垂直桿和平行桿方向正交分解，其中垂直桿方向的分速度等于A點的轉動速度，由速度分解得vA=

2gh

2

（3）由動能定理
Mg

h

2

=EK
由圖象得h=

1

30

v_A²
得EK=

1

6

M

v

2 A

（4）由動能定理
mg

h

2

+Mg

h

2

=

1

2

m(

vA

2

)2+

1

6

M

v

2 A

 
得M=0.25kg
答：（1）光電門測量到的速度v_A與高度差h的關系式為2

gh

；
（2）小球脫離瞬間桿A端速度為

2gh

2

；
（3）桿繞O點轉動的動能EK=

1

6

M

v

2 A

；
（4）桿的質量M為0.25kg．

點評：本題關鍵是根據動能定理多次列式后分析討論，要注意球參與兩個分運動，沿桿方向的分運動和隨著桿一起的轉動．