Question

用單位長度質量為m、單位長度電阻為r的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb'a'．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行．
設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計．可認為方框的aa'邊和bb'邊都處在磁極之間，極間磁感應強度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力）

（1）求方框下落的最大速度v_m（設磁場區域在豎直方向足夠長）；
（2）當方框下落的加速度為

g

2

時，求方框的發熱功率P；
（3）已知方框下落時間為t時，下落高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時間t內，方框內產生的熱與一恒定電流I₀在該框內產生的熱相同，求恒定電流I₀的表達式．

Answer 1

分析：（1）分析方框運動的過程：方框從靜止釋放后，切割磁感線產生感應電流，受到向上的安培力，先做加速度減小的加速運動，最后做勻速運動，速度達到最大．根據力的平衡知識和安培力公式求解最大速度v_m．
（2）當方框下落的加速度為

g

2

時，根據牛頓第二定律和安培力公式列式，求出電路中電流I，可由P=I²R求線框發熱功率．
（3）根據能量守恒定律求熱量，再用焦耳定律求解恒定電流I₀的表達式．

解答：解：（1）方框質量為 M=4Lm
方框電阻為 R=4Lr
方框下落速度為v時，產生的感應電動勢  E=B?2L?v
感應電流為        I=

E

R

=

Bv

2r

則安培力為 F=BI?2L=

B2Lv

r

，方向豎直向下
方框下落過程，受到重力G及安培力F，G=Mg=4Lmg，方向豎直向下．當F=G時，方框達到最大速度，即v=v_m
則有  

B2Lvm

r

=4Lmg
解得，方框下落的最大速度  vm=

4mgr

B2

（2）方框下落加速度為

g

2

時，根據牛頓第二定律有：Mg-IB?2L=M

g

2

，
則感應電流為  I=

Mg

4BL

=

mg

B

故方框的發熱功率 P=I2R=

4rLm2g2

B2

（3）根據能量守恒定律，有    Mgh=

1

2

Mvt2+

I

2 0

Rt
則得恒定電流I₀的表達式I0=

M Rt (gh- 1 2 v 2 t )

答：
（1）方框下落的最大速度v_m為

4mgr

B2

；
（2）當方框下落的加速度為

g

2

時，方框的發熱功率P為

4rLm2g2

B2

；
（3）恒定電流I₀的表達式  I0=

m rt (gh- 1 2 v 2 t )

．

點評：解答這類問題的關鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運動特征．電磁感應與電路結合的題目，感應電動勢是中間橋梁．